3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{:3.3 - Figure - The complex numbers z₁, z₂, z₃ and z₄}} +{{:3.3 - Bild - Die komplexen Zahlen z₁, z₂, z₃ und z₄}}))
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
* Calculate the powers of complex numbers with de Moivre's formula.
* Calculate the powers of complex numbers with de Moivre's formula.
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}}
}}
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== De Moivre's formula==
+
== Moivrescher Satz==
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The computational rules <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> and <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> mean that
+
Die Rechenregeln <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> and <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> bedeuten dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\times z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\times z\,| = |\,z\,|\times|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\times z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\times z\,| = |\,z\,|\times|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
-
For an arbitrary number <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math>, we therefore have the following relationship
+
 
 +
Für eine beliebige komplexe Zahl <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math>, gilt es deshalb dass
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
-
If <math>|\,z\,|=1</math>, (i.e. <math>z</math> lies on the unit circle) then one has the special relationship
+
Falls <math>|\,z\,|=1</math>, (Also dass <math>z</math> am Einheitskreis liegt) erhalten wir den Sonderfall
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
which is usually referred to as ''de Moivre's formula''. This relationship is very useful when it comes to deriving trigonometric identities and calculating the roots and powers of complex numbers.
+
Diese Regel nennt man den ''Moivreschen Satz''. Wir wir sehen werden, ist diese Rege sehr wichtig wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
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If <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>, determine <math>z^3</math> and <math>z^{100}</math>.
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Falls <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>, bestimmen Sie <math>z^3</math> und <math>z^{100}</math>.
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We write <math>z</math> in polar form <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\times \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> and de Moivre's formula gives
+
Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\times \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
 
+
Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen
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In the usual way, one does an expansion of the squared bracketed expression
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}}
-
and according to de Moivre's formula, one gets
+
und mit den Moivreschen Satz erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
-
If one equates the real and imaginary parts of the two expressions one gets the well-known trigonometric formulae
+
Nachdem die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleich setzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
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Simplify <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
+
Vereinfachen Sie <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
-
 
+
Wir schreiben die Zahlen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>1+i</math> in Polarform
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We write the numbers <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> and <math>1+i</math> in polar form
+
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
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Then, with de Moivre's formula, we get
+
Durch den Moivreschen Satz erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}
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and this expression can be simplified by performing multiplication and division in polar form
+
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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== ''n''th roots of complex numbers ==
+
== Die ''n''te Wurzel von komplexe Zahlen ==
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A complex number <math>z</math> is called the ''n''th root of the complex number <math>w</math> if
+
Eine komplexe <math>z</math> wird die ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt falls
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
+
-
The solutions are obtained by rewriting both sides in polar form and comparing both the moduli and the arguments.
+
Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhaltet man indem man beide Zahlen auf Polarform bringt, und deren Betrag und Argument vergleicht.
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For a given number <math>w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> one assumes that <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> and after insertion, the equation becomes
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Gegeben eine Zahl <math>w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> nimmt man an dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhaltet so die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
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where de Moivre's formula has been used on the left-hand side. Equating moduli and arguments gives
+
wo die den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\times 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\times 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Note that we add multiples of <math>2\pi</math> to include all possible values of the argument that have the same direction as <math>\theta</math>. One gets
+
Beachten Sie hier dass wir einen Multipel von <math>2\pi</math> zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
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This gives ''one'' value of <math>r</math>, but infinitely many values of <math>\alpha</math>. Despite this, there are not infinitely many solutions. From <math>k = 0</math> to <math>k = n - 1</math> one gets different arguments for <math>z</math> and thus different positions for <math>z</math> in the complex plane. For the other values of <math>k</math>, note that because of the periodicity of sine and cosine, one returns to these positions and therefore no new solutions are obtained. This reasoning shows that the equation <math>z^n=w</math> has exactly <math>n</math> roots.
+
Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Hingegen gibt es aber nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math>, und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math>, wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, nachdem die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind, und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung auf der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.
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''Comment''. Note that the arguments of the roots differ from each other by <math>2\pi/n</math> so that the roots are evenly distributed on a circle with radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> and form corners in a regular ''n-gon'' (an ''n'' sided polygon).
+
''Kommentar''. Beachten Sie dass das Argument der Lösungen sich immer mit <math>2\pi/n</math> unterscheidet. Also sind die Lösungen uniform auf den Kreis mit den Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> verteilt, und bilden ein ''n''-Seitiges Polygon.
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-
Solve the equation <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
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Write <math>z</math> and <math>16\,i</math> in polar form
+
Wir schreiben <math>z</math> and <math>16\,i</math> in Polarform
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
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This turns the equation <math>\ z^4=16\,i\ </math> into
+
Die Gleichung <math>\ z^4=16\,i\ </math> wird also
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
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Matching the moduli and arguments on both sides gives
+
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten,erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\times 2\pi,\end{align*}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\times 2\pi,\end{align*}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
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{| width="100%"
{| width="100%"
| width="95%"|
| width="95%"|
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The solutions to the equation are thus
+
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
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-
==Exponential form of complex numbers ==
+
==Exponentialform der komplexen Zahlen==
-
If we manipulate <math>i</math> as if it were a real number and treat a complex number <math>z</math> as a function of just <math>\alpha</math> ( where <math>r</math> is a constant),
+
 
 +
Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten, und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten( wo <math>r</math> also konstant ist),
{{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
-
we get after differentiation
+
erhalten wir durch wiederholte Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
-
The only real-valued functions which behave like this are <math>f(x)= e^{\,kx}</math>, which justifies the definition
+
Die einzige reellen Funktionen die die dies erfüllen, sind Funktionen auf der Form <math>f(x)= e^{\,kx}</math>. Daher ist die folgende Definition natürlich;
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
-
+
-
This definition turns out to be a completely natural generalisation of the exponential function for the real numbers. Putting <math>z=a+ib</math> one gets
+
Dies ist auch eine Generalisierung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Substituieren wir <math>z=a+ib</math> erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
-
The definition of <math>e^{\,z}</math> may be regarded as a convenient notation for the polar form of a complex number, as <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
+
Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform von der Polarform verwendet werden, nachdem <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
 
+
Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wir für die reelle Exponentialfunktion. Nachdem <math>z=a+0\times i</math> erhalten wir
-
For a real number <math>z</math> the definition is consistent with the case when the exponent is real, as <math>z=a+0\times i</math> which gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\times i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \times 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\times i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \times 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
 
+
Eine weitere Folge dieser Definition erhalten wir durch den Moivrischen Satz
-
A further indication of why the above definition is so natural is given by the relationship
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
-
which demonstrates that de Moivre's formula is actually identical to the well-known law of exponents,
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und dies erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}</math>}}
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-
From the above definition, one can obtain the relationship
+
Von den Definitionen oben, erhalten wir die Formel
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
-
which connects together what are generall regarded as the most basic numbers in mathematics: <math>e</math>, <math>\pi</math>, <math>i</math> and 1.
+
Diese Berühmte Formel wurde von Euler in den 18 Jahrhundert entdeckt.
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This relationship is seen by many as the most beautiful in mathematics and was discovered by Euler in the early 1700's.
+
</div>
</div>
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''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
-
 
+
Lösen Sie die Gleichung <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
-
Solve the equation <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
+

Version vom 12:59, 18. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • De Moivre's formula
  • Binomial equations
  • Exponential function
  • Euler's formula
  • Completing the square
  • Quadratic equations

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Calculate the powers of complex numbers with de Moivre's formula.
  • Calculate the roots of certain complex numbers by rewriting to polar form.
  • Solve binomial equations.
  • Complete the square for complex quadratic expressions.
  • Solve complex quadratic equations.

Moivrescher Satz

Die Rechenregeln \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ and \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ bedeuten dass

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\times z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\times z\,| = |\,z\,|\times|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}


Für eine beliebige komplexe Zahl \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha), gilt es deshalb dass

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Falls \displaystyle |\,z\,|=1, (Also dass \displaystyle z am Einheitskreis liegt) erhalten wir den Sonderfall

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wir wir sehen werden, ist diese Rege sehr wichtig wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.


Beispiel 1


Falls \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2}, bestimmen Sie \displaystyle z^3 und \displaystyle z^{100}.


Wir schreiben \displaystyle z in Polarform \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\times \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ und verwenden den Moivreschen Satz

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

Normalerweise würden wir hier die binomische Formel benutzen

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}

und mit den Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Nachdem die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleich setzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3


Vereinfachen Sie \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Wir schreiben die Zahlen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle 1+i in Polarform

  • \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Durch den Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}


Die nte Wurzel von komplexe Zahlen

Eine komplexe \displaystyle z wird die nte Wurzel von \displaystyle w genannt falls

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Die Lösungen dieser Wurzelgleichung erhaltet man indem man beide Zahlen auf Polarform bringt, und deren Betrag und Argument vergleicht.

Gegeben eine Zahl \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) nimmt man an dass \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) und erhaltet so die Gleichung

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

wo die den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\times 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Beachten Sie hier dass wir einen Multipel von \displaystyle 2\pi zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Wir erhalten also einen Wert für \displaystyle r, aber unendlich viele Werte für \displaystyle \alpha. Hingegen gibt es aber nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von \displaystyle k zwischen \displaystyle k = 0 und \displaystyle k = n - 1 erhalten wir verschiedene Argumente für \displaystyle z, und daher verschiedene Zahlen \displaystyle z. Für andere Werte von \displaystyle k, wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, nachdem die Funktionen \displaystyle \cos \theta und \displaystyle \sin \theta periodisch sind, und die Periodenlänge \displaystyle 2 \pi haben. Also hat eine Gleichung auf der Form \displaystyle z^n=w genau \displaystyle n Wurzeln.

Kommentar. Beachten Sie dass das Argument der Lösungen sich immer mit \displaystyle 2\pi/n unterscheidet. Also sind die Lösungen uniform auf den Kreis mit den Radius \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} verteilt, und bilden ein n-Seitiges Polygon.


Exempel 4


Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.


Wir schreiben \displaystyle z and \displaystyle 16\,i in Polarform

  • \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
  • \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Die Gleichung \displaystyle \ z^4=16\,i\ wird also

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten,erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\times 2\pi,\end{align*}\qquad\text{i.e.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]


Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir \displaystyle i als eine normale Zahl betrachten, und die komplexe Zahl \displaystyle z wie eine Funktion von nur \displaystyle \alpha betrachten( wo \displaystyle r also konstant ist),

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

erhalten wir durch wiederholte Ableitung

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}

Die einzige reellen Funktionen die die dies erfüllen, sind Funktionen auf der Form \displaystyle f(x)= e^{\,kx}. Daher ist die folgende Definition natürlich;

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Dies ist auch eine Generalisierung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Substituieren wir \displaystyle z=a+ib erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Die Definition von \displaystyle e^{\,z} kann wie eine Kurzform von der Polarform verwendet werden, nachdem \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.


Beispiel 5

Für eine reelle Zahl \displaystyle z ist die Definition dieselbe wir für die reelle Exponentialfunktion. Nachdem \displaystyle z=a+0\times i erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\times i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \times 1 = e^a\,\mbox{.}

Beispiel 6

Eine weitere Folge dieser Definition erhalten wir durch den Moivrischen Satz

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}

und dies erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen,

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}

Beispiel 7


Von den Definitionen oben, erhalten wir die Formel

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

Diese Berühmte Formel wurde von Euler in den 18 Jahrhundert entdeckt.

Beispiel 8

Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.


Put \displaystyle w = z + i. We then get the equation \displaystyle \ w^3=-8i\,. To begin with, we rewrite \displaystyle w and \displaystyle -8i in polar form

  • \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

In polar form, the equation is \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ ; matching the moduli and arguments on both sides gives

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

The roots of the equation are thus

  • \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
  • \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

i.e. \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i and \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Beispiel 9


Solve \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.


If for \displaystyle z=a+ib one has \displaystyle |\,z\,|=r and \displaystyle \arg z = \alpha then for \displaystyle \overline{z}= a-ib one gets \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r and \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha.This means that \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} and \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. The equation can be written

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{or}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}

which directly gives that \displaystyle r=0 is a solution, i.e. \displaystyle z=0. If we assume that \displaystyle r\not=0 then the equation can be written as \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,, which gives after matching moduli and arguments

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

The solutions are

  • \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}


Completing the square

The well-known rules

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

which are usually used to expand brackets can also be used in reverse to obtain quadratic expressions. For example,

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

This can be used to solve quadratic equations, for example,

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Taking roots then gives that \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} and thus that \displaystyle x=-2\pm 3, i.e. \displaystyle x=1 or \displaystyle x=-5.


Sometimes it is necessary to add or subtract an appropriate number to obtain a suitable expression. The above equation, for example, could just as easily been presented to us as

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

By adding 9 to both sides, we get a suitable expression on the left side:

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

This method is called completing the square.


Beispiel 10

  1. Solve the equation \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.

    The coefficient in front of \displaystyle x is \displaystyle -6 and it shows that we must have the number \displaystyle (-3)^2=9 as the constant term on the left-hand side to make a complete square. By adding \displaystyle 2 to both sides we achieve this:
    \displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

    Taking roots then gives \displaystyle x-3=\pm 2, which means that \displaystyle x=1 or \displaystyle x=5.

  2. Solve the equation \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.

    The equation can be written as \displaystyle z^2+8z+17=0. By subtracting 1 on both sides, we get a complete square on the left-hand side:
    \displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}

    and thus \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. In other words, the solutions are \displaystyle z=-4-i and \displaystyle z=-4+i.

Generally, completing the square may be regarded as arranging that "the square of half the coefficient of the x-term" is the constant term in the quadratic expression. This term can always be added to the two sides without worrying about the other terms and then manipulating the equation. If the coefficients of the expression are complex numbers, one still can go about it in the same way.


Beispiel 11


Solve the equation \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.


Half the coefficient of \displaystyle x is \displaystyle -\tfrac{4}{3}. We thus add \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} to both sides

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Now it is easy to get to \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} and thus to get that \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, i.e. \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} or \displaystyle x=3.

Beispiel 12


Solve the equation \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.


Completing the square gives

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

This gives the usual formula for solutions of quadratic equations

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Beispiel 13


Solve the equation \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.


Half the coefficient of \displaystyle z is \displaystyle -(6+2i) so we add the square of this expression to both sides


\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Expanding the square on the right-hand side \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ and completing the square on the left-hand side gives

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

After taking roots, we have that \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ and therefore the solutions are \displaystyle z=12+2i and \displaystyle z=2i.

If one wants to bring about a square in an expression one can use the same technique. In order not to change the value of the expression one both adds and subtracts the missing constant term, such as in the following,

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}


Beispiel 14


Complete the square in the expression \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\,.


Add and subtract the term \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}


Solving using a formula

To solve quadratic equations, sometimes the simplest method is to use the usual formula for quadratic equations. However, this may leave one with terms of the type \displaystyle \sqrt{a+ib}. One can then assume

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

By squaring both sides we get

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Matching the real and imaginary parts gives

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

These equations can be solved by substitution, for example, \displaystyle y= b/(2x) can be inserted in the first equation.


Beispiel 15


Calculate \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.


Put \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ where \displaystyle x and \displaystyle y are real numbers. Squaring both sides gives

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}

which leads to the system of equations

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

From the second equation, we can solve for \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ and put it into the first equation to get

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

This is a quadratic equation in \displaystyle x^2 which can be seen more easily by putting \displaystyle t=x^2,

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

The solutions are \displaystyle t = 1 and \displaystyle t = -4. The latter solution must be rejected, as \displaystyle x and \displaystyle y have been assumed to be real numbers, and thus \displaystyle x^2=-4 cannot be true. We get \displaystyle x=\pm\sqrt{1}, which gives us two possible solutions

  • \displaystyle \ x=-1\ which gives \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
  • \displaystyle \ x=1\ which gives \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

So we can conclude that

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 16


  1. Solve the equation \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.

    The formula for solutions of a quadratic equation (see example 3) gives that
    \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
  2. Solve the equation \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}

    Here, once again , the formula may be used, giving the solutions directly
    \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
  3. Solve the equation \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}

    Division of both sides by \displaystyle i gives
    \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

    Applying the formula gives

    \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}

    where we used the resulting value of \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ that we obtained in example 15. The solutions are therefore

    \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}
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