Lösung 3.1:4f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 3.1:4f moved to Lösung 3.1:4f: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Because the equation contains both <math>z</math> and <math>\bar{z}</math>, we cannot use <math>z</math> (or <math>\bar{z}</math>) alone as an unknown, so we are forced to set
+
Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung, we cannot use <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) lösen, und wir lassen statt dessen
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
-
and use the real part <math>x</math> and the imaginary part <math>y</math> as unknowns.
+
und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
-
With this approach, the left-hand side of the equation becomes
+
Die linke Seite der Gleichung bekommt dann
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 14: Zeile 14:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and the whole equation becomes
+
und die Gleichung ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
-
The two complex numbers on the left- and right-hand sides are equal when both real and imaginary parts are equal, i.e.
+
Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, und also erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
-
This gives <math>x=3</math> and <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Thus, the equation has the solution <math>z=3+i</math>.
+
Dies ergibt <math>x=3</math> und <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Also ist die Lösung der Gleichung <math>z=3+i</math>.
-
A quick check shows that <math>z=3+i</math> satisfies the equation in the exercise,
+
Dies überprüfen wir einfach, indem wir <math>z=3+i</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{LHS}
+
\text{Linke Seite}
&= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt]
&= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt]
&= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt]
&= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt]
&= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt]
&= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt]
&= 3+5i\\[5pt]
&= 3+5i\\[5pt]
-
&= \text{RHS}\,\textrm{.}
+
&= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Version vom 10:44, 12. Mai 2009

Nachdem \displaystyle z und \displaystyle \bar{z} in der Gleichung, we cannot use \displaystyle z (oder \displaystyle \bar{z}) lösen, und wir lassen statt dessen

\displaystyle z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil \displaystyle x und den Imaginärteil \displaystyle y.

Die linke Seite der Gleichung bekommt dann

\displaystyle \begin{align}

(1+i)(x-iy)+i(x+iy) &= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt] &= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt] &= x+(2x-y)i \end{align}

und die Gleichung ist also

\displaystyle x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, und also erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x=3 und \displaystyle y=2x-5=2\cdot 3-5=1. Also ist die Lösung der Gleichung \displaystyle z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir \displaystyle z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt] &= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt] &= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt] &= 3+5i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:4f“