Lösung 3.1:4d - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 3.1:4d
			
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  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\bar{z}=\frac{1+i}{2+i}\,,</math>}}
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  + und berechnen die rechte Seite indem wir den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner erweitern,
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \bar{z}
  + &= \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
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  +  
  + Also ist <math>z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i\,</math>.
  +  
  + Wir kontrollieren wie immer dass  <math>z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt,
  +  
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  + \text{Linke Seite}
  + &= (2+i)\bar{z}
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  + &= 2\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\frac{1}{5}\,i+i\cdot\frac{3}{5}+i\cdot\frac{1}{5}\,i
  + = \frac{6}{5}+\frac{2}{5}\,i+\frac{3}{5}\,i-\frac{1}{5}\\[5pt]
  + &=\frac{6-1}{5}+\frac{2+3}{5}\,i
  + = 1+i
  + = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Nachdem  \displaystyle z nur in Termen von \displaystyle \bar{z} vorkommt, können wir zuerst  \displaystyle \bar{z} als Unbekannte behandeln,
Wir dividieren beide Seiten durch \displaystyle 2+i,





\displaystyle \bar{z}=\frac{1+i}{2+i}\,,


und berechnen die rechte Seite indem wir den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner erweitern,





\displaystyle \begin{align}
\bar{z}
&= \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
= \frac{1\cdot 2-1\cdot i +i \cdot 2 - i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{2-i+2i+1}{4+1}
= \frac{3+i}{5}
= \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}



Also ist \displaystyle z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i\,.
Wir kontrollieren wie immer dass  \displaystyle z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i die ursprüngliche Gleichung erfüllt,





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2+i)\bar{z}
= (2+i)\overline{\Bigl(\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\,i\Bigr)}
= (2+i)\Bigl(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\Bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\frac{1}{5}\,i+i\cdot\frac{3}{5}+i\cdot\frac{1}{5}\,i
= \frac{6}{5}+\frac{2}{5}\,i+\frac{3}{5}\,i-\frac{1}{5}\\[5pt]
&=\frac{6-1}{5}+\frac{2+3}{5}\,i
= 1+i
= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:4d“
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+Nachdem  <math>z</math> nur in Termen von <math>\bar{z}</math> vorkommt, können wir zuerst  <math>\bar{z}</math> als Unbekannte behandeln,
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+Wir dividieren beide Seiten durch <math>2+i</math>,
+{{Abgesetzte Formel||<math>\bar{z}=\frac{1+i}{2+i}\,,</math>}}
+und berechnen die rechte Seite indem wir den Bruch mit den konjugiert komplexen Nenner erweitern,
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\bar{z}
+&= \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
+= \frac{1\cdot 2-1\cdot i +i \cdot 2 - i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
+&= \frac{2-i+2i+1}{4+1}
+= \frac{3+i}{5}
+= \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Also ist <math>z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i\,</math>.
+Wir kontrollieren wie immer dass  <math>z=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{5}i</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt,
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\text{Linke Seite}
+&= (2+i)\bar{z}
+= (2+i)\overline{\Bigl(\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\,i\Bigr)}
+= (2+i)\Bigl(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\Bigr)\\[5pt]
+&= 2\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\frac{1}{5}\,i+i\cdot\frac{3}{5}+i\cdot\frac{1}{5}\,i
+= \frac{6}{5}+\frac{2}{5}\,i+\frac{3}{5}\,i-\frac{1}{5}\\[5pt]
+&=\frac{6-1}{5}+\frac{2+3}{5}\,i
+= 1+i
+= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \bar{z}=\frac{1+i}{2+i}\,,
 \displaystyle \begin{align}
\bar{z}
&= \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
= \frac{1\cdot 2-1\cdot i +i \cdot 2 - i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{2-i+2i+1}{4+1}
= \frac{3+i}{5}
= \frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2+i)\bar{z}
= (2+i)\overline{\Bigl(\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\,i\Bigr)}
= (2+i)\Bigl(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\,i\Bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\frac{1}{5}\,i+i\cdot\frac{3}{5}+i\cdot\frac{1}{5}\,i
= \frac{6}{5}+\frac{2}{5}\,i+\frac{3}{5}\,i-\frac{1}{5}\\[5pt]
&=\frac{6-1}{5}+\frac{2+3}{5}\,i
= 1+i
= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
\end{align}