2.3 Partielle Integration

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Integration by parts.
+
* Partielle Integration.
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:
+
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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* Understand the derivation of the formula for integration by parts.
+
* Die Herleitung der partiellen Integration verstehen.
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* Solve problems about integration that require integration by parts, followed by a substitution (or vice versa).
+
* Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, lösen.
}}
}}
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== Integration by parts ==
+
== Partielle Integration ==
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To integrate products, one sometimes can make use of a method known as ''integration by parts''. The method is based on the reverse use of the rules for differentiation of products. If <math>u</math> and <math>v</math> are two differentiable functions then the rule for products gives
+
Partielle Integration kann hilfreich sein um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wir lassen <math>u</math> und <math>v</math> zwei ableitbare Funktionen sein, und erhalten durch die Faktorregel die Ableitung
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}
-
Now if one integrates both sides one gets
+
Integrieren wir jetzt beide Seiten erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>u \, v = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}
-
which, after re-ordering, becomes the formula for integration by parts.
+
und so erhalten wir die Regel für Partielle Integration.
<div class="regel">
<div class="regel">
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'''Integration by parts:'''
+
'''Partielle Integration:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
This means in practice that one integrates a product of functions by calling one factor <math>u</math> and the other <math>v'</math>, and then replaces the integral <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>, with the integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{,}\ </math>, which one hopes will be easier. Here, <math>v</math> is any antiderivative (primitive function) of <math>v'</math> (by preference, the simplest) and <math>u'</math> is the derivative of <math>u</math>.
+
Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, hofft man dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (am liebsten die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.
-
 
+
Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie dass es zu ein einfacheres Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll, und welche <math>v'</math> sein sill. Das folgende Beispiel zeigt wie es zugeht.
-
It is important to note that the method does not always lead to an integral that is easier than the original. It may also be crucial how one chooses the functions <math>u</math> and <math>v'</math>, as the following example shows.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
-
Determine the integral <math>\,\int x \, \sin x \, dx\,</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\,\int x \, \sin x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
If one chooses <math>u=\sin x</math> and <math>v'=x</math> one gets <math>u'=\cos x</math> and <math>v=x^2/2</math>, and the formula for integration by parts gives
+
Wählen wir <math>u=\sin x</math> und <math>v'=x</math> erhalten wir<math>u'=\cos x</math> und <math>v=x^2/2</math>, und wir erhalten durch die Formel für partielle Integration
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
+
-
The new integral on the right-hand side in this case is not easier than the original integral.
+
Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Intagral.
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If, instead, one chooses <math>u=x</math> and <math>v'=\sin x</math> then <math>u'=1</math> and <math>v=-\cos x</math>, and
+
Wählen wir aber <math>u=x</math> und <math>v'=\sin x</math> wird <math>u'=1</math> und <math>v=-\cos x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \times \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \times \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
Determine the integral <math>\ \int x^2 \, \ln x \, dx\,</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int x^2 \, \ln x \, dx\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Put <math>u=\ln x</math> and <math>v'=x^2</math>, since differentiation eliminates the logarithm when we carry out an integration by parts: <math>u'=1/x</math> and <math>v=x^3/3</math>. This gives us
+
Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, nachdem wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion loswerden. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math> erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
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Determine the integral <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int x^2 e^x \, dx\,</math>.
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Put <math>u=x^2</math> and <math>v'=e^x</math>, which gives <math>u'=2x</math> and <math>v=e^x</math>; integration by parts gives
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Wir wählen <math>u=x^2</math> und <math>v'=e^x</math>, und daher ist <math>u'=2x</math> und <math>v=e^x</math>. Durch partielle Integration erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
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This requires further integration by parts to solve the new integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math>. We choose in this case <math>u=2x</math> and <math>v'=e^x</math>, which gives <math>u'=2</math> and <math>v=e^x</math>:
+
Wir müssen uns hier noch einal von partieller Integration verwenden, um das Intagral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir<math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>,und also ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
-
The original integral thus becomes
+
Das ursprüngliche Integral ist
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
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Determine the integral <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int e^x \cos x \, dx\,</math>.
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In the first integration by parts, we have chosen to integrate the factor <math>e^x</math> and differentiate the factor <math>\cos x</math>,
+
Wir integrieren den Faktor <math>e^x</math> und leiten den Faktor <math>\cos x</math> ab,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The result of this is that we essentially have replaced the factor <math>\cos x</math> by <math>\sin x</math> in the integral. If we therefore use integration by parts once again (integrate the <math>e^x</math> and differentiate the <math>\sin x</math>) we get
+
Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration indem wir den Faktor <math>e^x</math> integrieren und den Faktor <math>\sin x</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
Thus the original integral appears here again. Summarising we have:
+
Hier erscheine wieder unser ursprüngliches Integral.
 +
 
 +
Wir haben also
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}
-
and collecting the integrals to one side gives
+
Sammeln wir alle Terme auf einer Seite, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}
-
Although integration by parts in this case did not lead to an easier integral, we arrived at an equation in which the original integral could be ”solved for”. This is not entirely unusual when the integrand is a product of trigonometric functions and / or exponential functions.
+
Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch die partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung die wir für unseres Integral lösen konnten. Dies ist oft vorkommend wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
</div>
</div>
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Determine the integral <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,</math>.
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The integral can be rewritten as
+
Das Integral kann wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
Substitute <math>u=2x</math> and <math>v'=e^{-x}</math>, and integrate by parts
+
geschrieben werden. Wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^{-x}</math>, erhalten wir durch partielle Integration
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
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Determine the integral <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
+
Bestimmen Sie das Integral <math>\ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,</math>.
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We start by performing a substitution <math>u=\sqrt{x}</math> which gives <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math>, that is, <math>dx = 2u\,du\,</math>,
+
Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math>, und wir erhalten das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}
-
Then we integrate by parts. Put <math>f=\ln u</math> <math>g'=2u</math>, which gives
+
Danach verwenden wir uns von partieller Integration. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab, und integrieren den Faktor <math>2u</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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''Note.'' An alternative approach is to rewrite the initial integrand as <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> and then integrate by parts the product <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math>.
+
 
 +
''Hinweis:'' Alternativ kann man den Integrand wie <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> schreiben, und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration integrieren.
</div>
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Version vom 15:38, 5. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Partielle Integration.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Die Herleitung der partiellen Integration verstehen.
  • Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, lösen.

Partielle Integration

Partielle Integration kann hilfreich sein um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wir lassen \displaystyle u und \displaystyle v zwei ableitbare Funktionen sein, und erhalten durch die Faktorregel die Ableitung

\displaystyle D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}

Integrieren wir jetzt beide Seiten erhalten wir

\displaystyle u \, v = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx

und so erhalten wir die Regel für Partielle Integration.

Partielle Integration:

\displaystyle \int u \, v'\,dx = u \, v - \int u^{\,\prime} \, v\,dx\,\mbox{.}

Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, hofft man dass das Integral \displaystyle \,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ einfacher zu berechnen ist als \displaystyle \,\int u \, v'\,dx\ . Hier ist \displaystyle v eine beliebige Stammfunktion von \displaystyle v' (am liebsten die einfachste) und \displaystyle u' ist die Ableitung von \displaystyle u.

Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie dass es zu ein einfacheres Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion \displaystyle u sein soll, und welche \displaystyle v' sein sill. Das folgende Beispiel zeigt wie es zugeht.

Beispiel 1

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \,\int x \, \sin x \, dx\,.

Wählen wir \displaystyle u=\sin x und \displaystyle v'=x erhalten wir\displaystyle u'=\cos x und \displaystyle v=x^2/2, und wir erhalten durch die Formel für partielle Integration

\displaystyle \int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}

Dieses Integral ist aber nicht einfacher zu lösen als das ursprüngliche Intagral.

Wählen wir aber \displaystyle u=x und \displaystyle v'=\sin x wird \displaystyle u'=1 und \displaystyle v=-\cos x,

\displaystyle \int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \times \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int x^2 \, \ln x \, dx\,.

Wir wählen \displaystyle u=\ln x und \displaystyle v'=x^2, nachdem wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion loswerden. Nachdem \displaystyle u'=1/x und \displaystyle v=x^3/3 erhalten wir

\displaystyle \begin{align*}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int x^2 e^x \, dx\,.

Wir wählen \displaystyle u=x^2 und \displaystyle v'=e^x, und daher ist \displaystyle u'=2x und \displaystyle v=e^x. Durch partielle Integration erhalten wir

\displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}

Wir müssen uns hier noch einal von partieller Integration verwenden, um das Intagral \displaystyle \,\int 2x\,e^x \, dx zu berechnen. Hier wählen wir\displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^x,und also ist \displaystyle u'=2 und \displaystyle v=e^x:

\displaystyle \int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}

Das ursprüngliche Integral ist

\displaystyle \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x\,e^x + 2 e^x + C\,\mbox{.}

Beispiel 4

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.

Wir integrieren den Faktor \displaystyle e^x und leiten den Faktor \displaystyle \cos x ab,

\displaystyle \begin{align*}\int e^x \cos x \, dx &= e^x \, \cos x - \int e^x \,(-\sin x) \, dx\\[10pt] &= e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx\,\mbox{.}\end{align*}

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration indem wir den Faktor \displaystyle e^x integrieren und den Faktor \displaystyle \sin x ableiten.

\displaystyle \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx\,\mbox{.}

Hier erscheine wieder unser ursprüngliches Integral.

Wir haben also

\displaystyle \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx

Sammeln wir alle Terme auf einer Seite, erhalten wir

\displaystyle \int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}

Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch die partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung die wir für unseres Integral lösen konnten. Dies ist oft vorkommend wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.

Beispiel 5

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.

Das Integral kann wie

\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}

geschrieben werden. Wählen wir \displaystyle u=2x und \displaystyle v'=e^{-x}, erhalten wir durch partielle Integration

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx &= \Bigl[\,-2x\,e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{-x}\,dx\\[4pt] &= \Bigl[\,-2x e^{-x}\,\Bigr]_{0}^{1} + \Bigl[\,-2 e^{-x}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &= (-2 \, e^{-1}) - 0 + (- 2\, e^{-1}) - (-2)\\[4pt] &= - \frac{2}{e} - \frac{2}{e} + 2 = 2 - \frac{4}{e}\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 6

Bestimmen Sie das Integral \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.

Zuerst machen wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}, wodurch wir \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u erhalten. Also ist \displaystyle dx = 2u\,du\,, und wir erhalten das Integral

\displaystyle \int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}

Danach verwenden wir uns von partieller Integration. Wir leiten den Faktor \displaystyle \ln u ab, und integrieren den Faktor \displaystyle 2u

\displaystyle \begin{align*}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align*}


Hinweis: Alternativ kann man den Integrand wie \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x schreiben, und die Produkte \displaystyle \tfrac{1}{2}\,\ln x mit partieller Integration integrieren.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/2.3_Partielle_Integration“