Lösung 1.3:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following,
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x) = 0\,</math>,
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# points where the function is not differentiable, and
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# endpoints of the interval of definition.
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# Endpunkte.
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What determines the function's region of definition is <math>\ln x</math>, which is defined for <math>x > 0</math>, and this region does not have any endpoints (<math>x=0</math> does not satisfy <math>x>0</math>), so item 3 above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of <math>x</math> and <math>\ln x</math> which are differentiable functions; so, item 2 above does not contribute any extreme points either.
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Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass <math>\ln x</math> nur definiert ist wenn <math>x > 0</math>. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.
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All the remains are possibly critical points. We differentiate the function
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Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}
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and see that the derivative is zero when
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Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
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In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative, <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, which gives that
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Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, und also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}
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which implies that <math>x=e^{-1}</math> is a local minimum.
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Also ist <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minima.

Version vom 17:14, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass \displaystyle \ln x nur definiert ist wenn \displaystyle x > 0. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.

Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1

Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

\displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}

Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, und also ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,

Also ist \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minima.

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