1.2 Ableitungsregeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x)\\[4pt] \frac{d}{dx}\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x)\\[4pt] \frac{d}{dx}\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*}</math>}} | ||
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| - | (Note that the derivatives of products and quotients are not as simple as the derivatives of sums and differences, where one can differentiate the functional expression term by term, i.e. individually!) | ||
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| - | + | Eine Funktion <math>y=f(g)</math> wo auch der Variabel ''g'', selbst eine Funktion von ''x'' ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also <math>y=f \bigl( g(x)\bigr)</math>. Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel. | |
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\, g'(x)\,\mbox{.}</math>}} | \, g'(x)\,\mbox{.}</math>}} | ||
| - | + | Nennen wir <math>y=f(u)</math> und <math>u=g(x)</math>, bekommt die Kettenregel | |
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| - | + | Man sagt dass die verkettete Funktion ''y'' aus einer Äußeren Funktion, ''f'', und einer inneren Funktion ''g'' besteht. Analog nennt man <math>f^{\,\prime}</math> die äußere Ableitung, und <math>g'</math> die innere Ableitung. | |
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| - | + | Die Ableitung der Funktion ''y'', in Bezug auf ''x'', ist durch die Kettenregel | |
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| - | + | Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach; | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(\text{outer derivative}) | {{Abgesetzte Formel||<math>(\text{outer derivative}) | ||
Version vom 14:51, 9. Apr. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Die Ableitung eines Produktes und eines Bruches
- Die Ableitung einer verketteten Funktionen
- Höhere Ableitungen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können :
- In Prinzip jede Funktion die auf Elementarfunktionen besteht ableiten.
Die Faktor- und Quotientenregel
Durch der Definition der Ableitung können wir Ableitungsregeln für Produkten und Quoten von Funktionen herleiten:
Faktor- und Quotientenregel:
| \displaystyle \begin{align*} \frac{d}{dx}\,\bigl(\,f(x) \, g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \, g(x) + f(x) \, g'(x)\\[4pt] \frac{d}{dx}\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x)\, g(x) - f(x)\, g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*} |
Beispiel 1
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x^2 e^x) = 2x\, e^x + x^2\, e^x = (2x +x^2)\,e^x\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x \sin x) = 1\times \sin x + x\,\cos x = \sin x + x \cos x\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,(x \ln x -x) = 1 \times \ln x + x\, \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 -1 = \ln x\,.
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\tan x = \frac{d}{dx}\,\frac{\sin x}{\cos x}
= \frac{ \cos x \, \cos x
- \sin x \, (-\sin x)}{(\cos x)^2}
\vphantom{\biggl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\tan x}{} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\,. - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
= \frac{\displaystyle 1 \times \sqrt{x}
- (1+x) \, \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
- \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}
\vphantom{\biggl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}}{} = \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,. - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}
= \frac{(1\times e^x + x\, e^x)(1+x)
- x\,e^x \times 1}{(1+x)^2}
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\frac{x\,e^x}{1+x}}{} = \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2} = \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,.
Ableitung von verketteten Funktionen
Eine Funktion \displaystyle y=f(g) wo auch der Variabel g, selbst eine Funktion von x ist, nennt man eine verkettete Funktion. Die Funktion ist also \displaystyle y=f \bigl( g(x)\bigr). Um eine verkettete Funktion abzuleiten, verwendet man die Kettenregel.
\displaystyle y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
\, g'(x)\,\mbox{.}
|
Nennen wir \displaystyle y=f(u) und \displaystyle u=g(x), bekommt die Kettenregel
\displaystyle \frac{dy}{dx}
= \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}\,\mbox{.}
|
Man sagt dass die verkettete Funktion y aus einer Äußeren Funktion, f, und einer inneren Funktion g besteht. Analog nennt man \displaystyle f^{\,\prime} die äußere Ableitung, und \displaystyle g' die innere Ableitung.
Beispiel 2
In der Funktion \displaystyle y=(x^2 + 2x)^4 ist
| \displaystyle y=u^4 | die äußere Funktion und | \displaystyle u=x^2+2x | die innere Funktion. |
| \displaystyle \dfrac{dy}{du}=4u^3 | die äußere Ableitung und | \displaystyle \dfrac{du}{dx}=2x+2 | die innere Ableitung. |
Die Ableitung der Funktion y, in Bezug auf x, ist durch die Kettenregel
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \, \frac{du}{dx}
= 4 u^3 \, (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \, (2x +2)\,\mbox{.}
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Wenn man mig verketteten Funktionen rechnet, benennt man meistens nicht die Äußere und innere Ableitung mit neuen Funktionen, sondern man denkt einfach;
\displaystyle (\text{outer derivative})
\, (\text{ inner derivative})\,\mbox{.}
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Do not forget to use the product and quotient rules where necessary.
Beispiel 3
- \displaystyle f(x) = \sin (3x^2 + 1)
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Outer derivative:} & \cos (3x^2 +1)\\ \text{ Inner derivative:} & 6x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \times 6x = 6x \cos (3x^2 +1) - \displaystyle y = 5 \, e^{x^2}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Outer derivative:} & 5\,e^{x^2}\\ \text{ Inner derivative:} & 2x \end{array}
\displaystyle y' = 5 \, e^{x^2} \times 2x = 10x\, e^{x^2} - \displaystyle f(x) = e^{x\, \sin x}
\displaystyle \begin{array}{ll} \text{Outer derivative:} & e^{x\, \sin x}\\ \text{ Inner derivative:} & 1\times \sin x + x \cos x \end{array}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = e^{x\, \sin x} (\sin x + x \cos x) - \displaystyle s(t) = t^2 \cos (\ln t)
\displaystyle s'(t) = 2t \, \cos (\ln t) + t^2 \,\Bigl(-\sin (\ln t) \,\frac{1}{t}\Bigr) = 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,a^x = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x = \frac{d}{dx}\,e^{\ln a \times x} = e^{\ln a \times x} \, \ln a = a^x \, \ln a
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,x^a = \frac{d}{dx}\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a = \frac{d}{dx}\,e^{ a \, \ln x } = e^{a \, \ln x} \times a \, \frac{1}{x} = x^a \times a \, x^{-1} = ax^{a-1}
The chain rule also can be used repeatedly on a function that is composed at several levels. For example, the function \displaystyle y= f \bigl( g(h(x))\bigr) has the derivative
\displaystyle y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)
\, g'(h(x)) \, h'(x)\,\mbox{.}
|
Beispiel 4
- \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^3 2x = \frac{d}{dx}\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \, \frac{d}{dx}\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \, \cos 2x \, \frac{d}{dx}\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\,\cos 2x\times 2 = 6 \sin^2 2x\,\cos 2x - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\, \frac{d}{dx}\,(x^2 -3x)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3 \, \frac{d}{dx}\,(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{} = \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\times 4 (x^2 -3x)^3 \, (2x-3) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)
= \frac{d}{dx}\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \, \frac{d}{dx}\,\sin(x^2-3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x) \, \frac{d}{dx}(x^2 -3x) \vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\sin^4 (x^2 -3x)}{} = 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \,\cos (x^2 -3x)\, (2x-3) - \displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{d}{dx}\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\, \frac{d}{dx}\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\displaystyle \frac{d}{dx}\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{} = e^{\sqrt{x^3-1}} \, \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \times 3 x^2 = \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}} \vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}
Higher order derivatives
If a function is differentiable more than once, one can consider higher derivatives like the second derivative, third derivative, and so on.
The second derivative usually is written as \displaystyle f^{\,\prime\prime} (sometimes referred to as "double-prime"), while the third, fourth, etc. derivatives, are written as \displaystyle f^{\,(3)}, \displaystyle f^{\,(4)} and so on.
Other usual notations for these quantities are \displaystyle D^2 f, \displaystyle D^3 f, \displaystyle \ldots\,, \displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2}, \displaystyle \frac{d^3 y}{dx^3}, \displaystyle \ldots.
Beispiel 5
- \displaystyle f(x) = 3\,e^{x^2 -1}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \, \frac{d}{dx}\,(x^2-1) = 3\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \times 2x = 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) - \displaystyle y = \sin x\,\cos x
\displaystyle \frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x - \displaystyle \frac{d}{dx}\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}
\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x) = \frac{d}{dx}\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^2}{dx^2}(e^x\sin x)}{} = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2\,e^x \cos x \vphantom{\biggl(}
\displaystyle \frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x) = \frac{d}{dx}\,(2\,e^x \cos x) \vphantom{\Bigl(} \displaystyle \phantom{\frac{d^3}{dx^3} ( e^x \sin x)}{} = 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x) = 2\,e^x ( \cos x - \sin x )
