1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{:1.1 - Figure - The tangent y = 2x}} +{{:1.1 - Bild - Die Tangente y = 2x}}))
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
* That the first derivative <math>f^{\,\prime}(a)</math> is the gradient of the curve <math>y&#061;f(x)</math> at the point <math>x&#061;a</math>.
* That the first derivative <math>f^{\,\prime}(a)</math> is the gradient of the curve <math>y&#061;f(x)</math> at the point <math>x&#061;a</math>.
* That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
* That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
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}}
}}
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== Introduction ==
+
== Einfüfrung ==
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When studying mathematical functions and their graphs one of the main areas of study of a function is the way it changes, i.e. whether a function is increasing or decreasing and the rate at which this is taking place.
+
In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen wie sich eine Funktion verändern, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.
 +
Daher führt man den Begriff Sekansteigung ein. Die Sekantsteigung ist ein Maß in wie steil eine Funktion ist. Weiß man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantsteigung <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> berechnen;
-
One makes use of the concept rate of change (or speed of change), which is a measure of how the value of the function (<math>y</math>) is changing per unit increase in the variable (<math>x</math>). If one knows two points on a graph of a function one can get a measure of the rate of change of the function between these points by calculating the increment ratio
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in@(i)x@(/i)}}</math>}}
-
 
+
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{increment in @(i)y@(/i)}}{\text{increment in@(i)x@(/i)}}</math>}}
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
-
The linear functions <math>f(x)=x</math> and <math>g(x)=-2x</math> change by the same amount everywhere. Their rates of change are <math>1</math> and. <math>−2</math>, which are the gradients of these straight lines.
+
Die lineare Funktionen <math>f(x)=x</math> und <math>g(x)=-2x</math> haben überall dieselbe Sekantsteigung, nämlich <math>1</math> und <math>−2</math>.
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| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = -2x}}
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Die Kurve von f(x) = -2x}}
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| align="center" |<small>Graph of ''f''(''x'') = ''x'' has gradient&nbsp;1.</small>
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| align="center" |<small>Graph of ''f''(''x'') = ''x'' hat die Steigung &nbsp;1.</small>
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| align="center" |<small>Graph of ''g''(''x'') = - 2''x'' has gradient&nbsp;-&nbsp;2.</small>
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| align="center" |<small>Graph of ''g''(''x'') = - 2''x'' hat die Steigung &nbsp;-&nbsp;2.</small>
|}
|}
</center>
</center>
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+
-
Thus for a linear function the rate of change is the same as the gradient.
+
Für eine lineare Funktion ist die Sekantsteigung dasselbe wie die Steigung.
</div>
</div>
-
If a car is moving at a speed of 80&nbsp;km/h then the distance traveled, ''s'' km, after ''t'' hours is given by the function <math>s(t)=80 t</math>.
+
Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80&nbsp;km/h unterwegs ist, kommt es nach ''t'' stunden ''s'' km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto gefahren ist wie <math>s(t)=80 t</math> schreiben. Die Steigung dieser Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Fall das Auto nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat, ist natürlich auch die Steigung überall anders. Man kann natürlich immer noch die Sekantsteigung berechnen, und dies wird einer Durchschnittgeschwindigkeit entsprechen. In diesen Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren die momentane Steigung (also Momentangeschwindigkeit) zu berechnen.
-
The rate of change of the function indicates how the value of the function is changing per hour, which of course is the same as the car's speed, 80&nbsp;km/h.
+
-
 
+
-
For non-linear functions however, the gradient of the graph of the function (that is, the function's rate of change) varies from point to point. We can either give the function's average (mean) rate of change between two points on the curve of the function, or the instantaneous rate of change at one point on the curve. The mean rate of change is fairly easy to calculate; how to calculate the instantaneous rate of change forms the main focus of this section.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
-
For the function <math>f(x)=4x-x^2</math> one has <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> and <math>f(4)=0</math>.
+
Für die Funktion <math>f(x)=4x-x^2</math> gilt dass <math>f(1)=3</math>, <math>f(2)=4</math> und <math>f(4)=0</math>.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Mean rate of change (mean gradient) from <math>x = 1</math>
+
<li> Die Sekantsteigung von <math>x = 1</math>
-
to <math>x = 2</math> is
+
bis <math>x = 2</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
= \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
= \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
-
and the function increases in this interval. </li>
+
und die Funktion nimmt in diesen Intervall zu. </li>
-
<li> Mean rate of change from <math>x = 2</math> to <math>x = 4</math> is
+
<li> Die Sekantsteigung von <math>x = 2</math> bis <math>x = 4</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
-
and the function decreases in this interval.</li>
+
und die Funktion nimmt in diesen Intervall ab.</li>
-
<li> Between <math>x = 1</math> and <math>x = 4</math> the mean rate of change is
+
<li> Zwischen <math>x = 1</math> und <math>x = 4</math> ist die Sekantsteigung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
= \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}</math>}}
-
On average, the function decreases in this interval, although the function both increases and decreases within this interval.t.</li>
+
Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl Sie im Intervall abnimmt und zunimmt.</li>
</ol>
</ol>
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| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 4}}
| align="center" |{{:1.1 - Bild - Durchschnittliche Veränderung von f(x) = x(4 - x) zwischen x = 1 und x = 4}}
|-
|-
-
| align="center" |<small>Between ''x'' = 1 and ''x'' = 2 the function has the mean rate of change 1/1 = 1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1.</small>
| width="30px" |
| width="30px" |
-
| align="center" |<small>Between ''x'' = 1 and ''x'' = 4 the function has the mean rate of change (-3)/3 = -1.</small>
+
| align="center" |<small>Zwischen ''x'' = 1 und ''x'' = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.</small>
|}
|}
</center>
</center>
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-
==Definition of the derivative ==
+
==Definition der Ableitung==
-
To calculate the instantaneous rate of change of a function, that is, the gradient of its curve at a point ''P'', we temporarily use an additional point ''Q'' in the vicinity of ''P'' and construct the increment ratio between ''P'' and ''Q'':
+
Um die momentane Steigung in einen Punkt ''P'' zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt ''Q'' ein, und berechnen die Sekantsteigung zwischen ''P'' und ''Q'':
<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
-
'''Increment ratio'''
+
'''Sekantsteigung'''
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}
 +
Wenn wir den Punkt ''Q'' näher und näher den Punkt ''P'' wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt ''P''. Dies nennt man die Ableitung von <math>f(x)</math> im Punkt ''P''.
-
If we allow ''Q'' to approach ''P'' (that is allow <math>h \rightarrow 0</math>) we can work out what the value would be if the points coincided, and thus obtain the gradient at the point ''P''. We call this value ''the derivative'' of <math>f(x)</math> at the point ''P''; it can be interpreted as the instantaneous rate of change of <math>f(x)</math> at the point ''P''.
+
Die Ableitung von <math>f(x)</math> schreibt man wie <math>f^{\,\prime}(x)</math> und wird definiert wie:
-
 
+
-
The derivative of a function <math>f(x)</math> is written as <math>f^{\,\prime}(x)</math> and may be formally defined as follows:
+
<div class="regel">
<div class="regel">
-
''The derivative'' of a function <math>f(x)</math>, is defined as
+
''Die Ableitung'' von <math>f(x)</math>, ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x)
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x)
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
-
If <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> exists, one says that <math>f(x)</math> is ''differentiable'' at the point <math>x=x_0</math>.
+
Falls <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man dass die Funktion <math>f(x)</math> ''differenzierbar'' im Punkt <math>x=x_0</math> ist.
</div>
</div>
-
Different notations for the derivative are used, for example,
+
Es gibt viele Notationen für die Ableitung, hier sind einige.
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Function
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
-
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | derivative
+
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Ableitung
|-
|-
| align="center" | <math>f(x)</math>
| align="center" | <math>f(x)</math>
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-
== The sign of the derivative ==
+
== Das Vorzeichen der Ableitung ==
-
The sign of the derivative (+/−) tells us if the function's graph slopes upwards or downwards, that is, if the function is increasing or decreasing:
+
Das Vorzeichen (+/-) sagt uns ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:
-
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive gradient) means that <math>f(x)</math> is increasing.
+
* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive Ableitung) bedeutet dass <math>f(x)</math> zunehmend ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative gradient) means that <math>f(x)</math> is decreasing.
+
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative Ableitung) bedeutet dass <math>f(x)</math> abnehmend ist.
-
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (gradient zero) means that <math>f(x)</math> is stationary (horizontal).
+
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (Ableitung ist null) bedeutet dass <math>f(x)</math> waagrecht ist.
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>f(2)=3\ </math> means that '''the value of the function''' is
+
<li><math>f(2)=3\ </math> bedeutet dass '''der Wert der Funktion'''
-
<math>3</math> at <math>x=2</math>.</li>
+
<math>3</math> ist wenn <math>x=2</math>.</li>
-
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math>means that '''the value of the derivative'''
+
<li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </mathbedeutet dass '''der Wert der Ableitung'''
-
is <math>3</math> when <math>x=2</math>, which in turn means that the
+
<math>3</math> ist wenn <math>x=2</math>, und also ist die Steigung der Funktion <math>3</math> wenn <math>x=2</math>.</li>
-
function's graph has a gradient <math>3</math> at <math>x=2</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
</div>
</div>
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
From the figure one can obtain that
+
Von der Figur können wir folgendes erhalten
<center>
<center>
{| align="center"
{| align="center"
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</center>
</center>
-
Note the different meanings of <math>f(x)</math> and <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
+
Beachten Sie den Unterschied zwischen <math>f(x)</math> und <math>f^{\,\prime}(x)</math>.
</div>
</div>
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
The temperature in a thermos is given by a function, where <math>T(t)</math> is the temperature of the thermos after <math>t</math> minutes. Interpret the following using mathematical symbols:
+
Die Temperatur <math>T(t)</math> in einer Thermoskanne nach <math>t</math> minuten ist gegeben. Deuten Sie folgende mathematische Begriffe:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> After 10&nbsp;minutes the temperature is 80°.<br><br>
+
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
-
<math>T(10)=80</math><br><br></li>
+
<li> Nach 10&nbsp;Minuten ist die Temperatur 80°.<br><br>
-
<li> After 2&nbsp;minutes the temperature is dropping in the thermos by 3° per minute <br><br>
+
<math>T'(2)=-3</math>
-
<math>T'(2)=-3</math> (the temperature is decreasing, which is why the derivative is negative)<br><br></li>
+
<li> Nach 2&nbsp;Minuten nimmt die Temperatur mit 3° pro Minute ab<br><br>
 +
(Die Ableitung ist negativ, und deshalb nimmt die Temperatur ab)<br><br></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 216: Zeile 211:
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
The function <math>f(x)=|x|</math> does not have a derivative at <math>x=0</math>. One cannot determine how the graph of the function slopes at the point <math>(0,0)</math> (see figure below).
+
Die Funktion <math>f(x)=|x|</math> ist im Punkt <math>x=0</math> nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> bestimmen (Siehe Figur).
 +
 
One can express this, for example, in one of the following ways:"<math>f^{\,\prime}(0)</math> does not exist", "<math>f^{\,\prime}(0)</math> is not defined " or "<math>f(x)</math> is not differentiable at <math>x=0</math>".
One can express this, for example, in one of the following ways:"<math>f^{\,\prime}(0)</math> does not exist", "<math>f^{\,\prime}(0)</math> is not defined " or "<math>f(x)</math> is not differentiable at <math>x=0</math>".

Version vom 11:04, 8. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Definition of the derivative (overview).
  • Derivative of \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x and \displaystyle \tan x.
  • Derivative of sums and differences.
  • Tangents and normals to curves.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • That the first derivative \displaystyle f^{\,\prime}(a) is the gradient of the curve \displaystyle y=f(x) at the point \displaystyle x=a.
  • That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
  • That there are functions that are not differentiable (such as \displaystyle f(x)=\vert x\vert at \displaystyle x=0).
  • To differentiate \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x and \displaystyle \tan x as well as the sums / differences of such terms.
  • To determine the tangent and normal to the curve \displaystyle y=f(x).
  • That the derivative can be denoted by \displaystyle f^{\,\prime}(x) or \displaystyle df/dx(x).

Einfüfrung

In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen wie sich eine Funktion verändern, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekansteigung ein. Die Sekantsteigung ist ein Maß in wie steil eine Funktion ist. Weiß man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantsteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen;

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in@(i)x@(/i)}}

Beispiel 1

Die lineare Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantsteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.



[Image]

[Image]

Graph of f(x) = x hat die Steigung  1. Graph of g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantsteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto gefahren ist wie \displaystyle s(t)=80 t schreiben. Die Steigung dieser Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Fall das Auto nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat, ist natürlich auch die Steigung überall anders. Man kann natürlich immer noch die Sekantsteigung berechnen, und dies wird einer Durchschnittgeschwindigkeit entsprechen. In diesen Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren die momentane Steigung (also Momentangeschwindigkeit) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0.

  1. Die Sekantsteigung von \displaystyle x = 1 bis \displaystyle x = 2 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} 
     = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesen Intervall zu.
  2. Die Sekantsteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} 
     = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesen Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantsteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1} 
     = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}
    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl Sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.



Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein, und berechnen die Sekantsteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantsteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} 
 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q näher und näher den Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f(x) im Punkt P.

Die Ableitung von \displaystyle f(x) schreibt man wie \displaystyle f^{\,\prime}(x) und wird definiert wie:

Die Ableitung von \displaystyle f(x), ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) 
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Falls \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man dass die Funktion \displaystyle f(x) differenzierbar im Punkt \displaystyle x=x_0 ist.

Es gibt viele Notationen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle \dot s(t)


Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) zunehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) abnehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet dass \displaystyle f(x) waagrecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet dass der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist wenn \displaystyle x=2.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ 3 ist wenn \displaystyle x=2, und also ist die Steigung der Funktion \displaystyle 3 wenn \displaystyle x=2.

Beispiel 4

Von der Figur können wir folgendes erhalten

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Beachten Sie den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t minuten ist gegeben. Deuten Sie folgende mathematische Begriffe:

    \displaystyle T(10)=80

  1. Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.

    \displaystyle T'(2)=-3
  2. Nach 2 Minuten nimmt die Temperatur mit 3° pro Minute ab

    (Die Ableitung ist negativ, und deshalb nimmt die Temperatur ab)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist im Punkt \displaystyle x=0 nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) bestimmen (Siehe Figur).


One can express this, for example, in one of the following ways:"\displaystyle f^{\,\prime}(0) does not exist", "\displaystyle f^{\,\prime}(0) is not defined " or "\displaystyle f(x) is not differentiable at \displaystyle x=0".

[Image]

graph of the function f(x) = |x|


Differentiation rules

Using the definition of differentiation one can determine the derivatives for the standard types of functions.


Beispiel 7

If \displaystyle f(x)=x^2 then, according to the definition of the increment ratio

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} 
 = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

If we then let \displaystyle h go to zero, we see that the gradient at the point becomes \displaystyle 2x. We have thus shown that the gradient of an arbitrary point on the curve \displaystyle y=x^2 is \displaystyle 2x. That is, the derivative of \displaystyle x^2 is \displaystyle 2x.

In a similar way, we can deduce general differentiation rules:

Function Derivative
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x


In addition, for sums and differences of expressions of functions one has

\displaystyle D(f(x) +g(x)) 
 = f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Additionally, if k is a constant, then

\displaystyle D(k \, f(x)) 
 = k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad gives that \displaystyle \quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad gives that \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad gives that \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad gives that \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad gives that\displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad gives that\displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

The function \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} has the derivative

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} 
 = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

This means, for example, that \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} and that \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. However, the derivative \displaystyle f'(0) is not defined.

Beispiel 11

An object moves according to \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, where \displaystyle s(t) km is the distance from the starting point after \displaystyle t hours. Calculate \displaystyle s'(3) and explain what the value stands for.

Differentiating with respect to the time

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad 
 \text{which gives that}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
 = 8\,\mbox{.}

This might suggest that after 3 hours the object's speed is 8 km/h.

Beispiel 12

The total cost \displaystyle T dollars for the manufacture of \displaystyle x objects is given by the function

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad 
 \text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Calculate and explain the meaning of the following expressions.

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2 = 83104\,.
    The total cost to manufacture 120 objects is 83104 dollars.
  2. \displaystyle T'(120)

    The derivative is given by \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x and therefore, is
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120 
           \approx 348\textrm{.}
    Marginal costs ("the cost to produce an additional 1 object") of 120 manufactured objects is approximately 348 dollars.


Tangents and normals

A tangent to a curve is a straight line tangential to the curve.

A normal to a curve at a point on the curve is a straight line that is perpendicular to the curve at the point (and hence perpendicular to the curve's tangent at this point).

For perpendicular lines, the product of their gradients is \displaystyle –1, i.e. if the tangents gradient is \displaystyle k_T and the normals is \displaystyle k_N then \displaystyle k_T \, k_N = -1. Since we can determine the gradient of a curve with the help of the derivative, we can also determine the equation of a tangent or a normal, if we know the equation for the curve.


Beispiel 13

Determine the equation for the tangent and the normal to the curve \displaystyle y=x^2 + 1 at the point \displaystyle (1,2).

We write the tangents equation as \displaystyle y = kx + m. Since it is to tangent (touch) the curve at \displaystyle x=1 it must have a gradient of \displaystyle k= y'(1), i.e.

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2.

The tangent also passes through the point \displaystyle (1,2) and therefore \displaystyle (1,2) must satisfy the tangents equation

\displaystyle 2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad 
 m = 0.

The tangents equation is thus \displaystyle y=2x.


The gradient of the normal is \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

In addition, the normal also passes through the point \displaystyle (1, 2) , i.e.

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\times 1 + m 
 \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

The normal has the equation \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangent \displaystyle y=2x Normal \displaystyle y=(5-x)/2


Beispiel 14

The curve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x has a tangent with a gradient of \displaystyle –1. Determine the point of tangency (where the tangent touches the curve).

The derivative of the right-hand side is \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 and at the point of tangency the derivative must be equal to \displaystyle -1, that is, \displaystyle y' = -1, and this gives us the equation

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

which has a solution \displaystyle x=0. At the point \displaystyle x=0 the curve has \displaystyle y-value \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2 and therefore the point of tangency is \displaystyle (0,2).

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