Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[2.2 Integration durch Substitution|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[2.2 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt:''' * Integration durch Substitution }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen: * Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird. * Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst. * Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert. * Wann Integration durch Substitution möglich ist. }} Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). == A - Integration durch Substitution == Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts. Die Kettenregel <math>\ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ </math> kann in Integralform geschrieben werden: {{Abgesetzte Formel||<math>\int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C</math>}} oder <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}</math>}} </div> wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>. Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}} Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen. {{Abgesetzte Formel||<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}} Also ist das unbekannt <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}} Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist. Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall <math> (a,b) </math> differenzierbar ist. <div class="exempel"> ''' Beispiel 1''' Berechne das Integral <math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>. <br> <br> Wenn wir die Substitution <math>u(x)= x^2</math> machen, erhalten wir <math>u'(x)= 2x</math>. Durch die Substitution wird <math>e^{x^2}</math>, <math>e^u</math> und <math>u'(x)\,dx</math>, also <math>2x\,dx</math> wird <math>du</math> {{Abgesetzte Formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 2''' Bestimme das Integral <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx</math>. <br> <br> Wir substituieren, <math>u=x^3 + 1</math>.Dies ergibt <math>u'=3x^2</math>, oder <math>du= 3x^2\, dx</math>, und daher ist {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 3''' Bestimme das Integral <math>\ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ </math> wo <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>. <br> <br> Wir schreiben <math>\tan x</math> wie <math>\sin x/\cos x</math> und machen die Substitution <math>u=\cos x</math>, {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} </div> == B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution == Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man <math> u = u(x) </math>, berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden. <div class="exempel"> ''' Beispiel 4''' Berechne das Integral <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>. '' Methode 1'' Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>. Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math> {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| </math>}} Jetzt schreiben wir wieder <math> u(x) </math> statt <math> u </math> und setzen die Integrationsgrenzen ein. {{Abgesetzte Formel||<math> \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}</math>}} '' Methode 2'' Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 läuft, läuft <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>. {{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' Bestimme das Integral <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>. <br> <br> Durch die Substitution <math>u=\sin x</math> erhalten wir <math>du=\cos x\,dx</math> und die Integrationsgrenzen sind daher <math>u=\sin 0=0</math> und <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. Das Integral ist daher {{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}} <center>{{:2.2 - Bild - Die Fläche unter den Kurven y = sin³x cos x und y = u³}}</center> {| width="80%" align="center" ||<small> Das linke Bild zeigt die Funktion sin³''x'' cos ''x'' und die rechte Figur zeigt die Funktion ''u''³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht. </small> |} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 6''' Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat. {{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}} {| width="100%" | width="95%" | Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl. Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde f&uuml;r <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null). Wenn man die Substitutionsregel anwenden m&ouml;chte, muss die &auml;ussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion <math> u </math> stetig differenzierbar. | width="5%" | || {| ||{{:2.2 - Bild - Die Kurve von f(u) = 1/u²}} |- ||<small>Graph von ''f''(''u'') = 1/''u''²</small> |} |} </div> <br><br> Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.2 Übungen|Übungen]]''' .

• 2.2 - Bild - Die Fläche unter den Kurven y = sin³x cos x und y = u³
• 2.2 - Bild - Die Kurve von f(u) = 1/u²
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