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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

für 1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme
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__NOTOC__

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Gewählter Tab|[[1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme|Theorie]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[1.3 Übungen|Übungen]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}

{{Info|
'''Inhalt:'''
* Kurven zeichnen
* Maximierungs- und Minimierungsprobleme
}}

{{Info|
'''Lernziele:'''

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können: 

* The definition of strictly increasing, strictly decreasing, local maximum, local  minimum, global maximum, global minimum. 
* That if  <math>f^{\,\prime}>0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly increasing in the interval, and that if <math>f^{\,\prime}<0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly decreasing in the interval.
* To locate stationary points and, by studying the sign of the derivative, classify them as local maxima, local minima, and stationary points  of inflexion. 
* To sketch the graph of a function by constructing a table of  signs for the  derivative. 
* To determine global and local maxima and minima by 1)&nbsp;studying the sign of the derivative, 2)&nbsp;considering points where Die Funktion is not differentiable, 3)&nbsp;examining the endpoints of the interval where Die Funktion is defined.
* To use the sign of the second derivative to distinguish between local maxima and local minima. 
}}


==  Steigende und fallende Funktionen ==

Man sagt dass eine Funktion steigend ist falls ihre Ableitung positiv ist, und fallend falls ihre Ableitung negativ ist.

Die formelle Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:

{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} 

Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:

{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}  
	
Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt, immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' steigend und '''streng''' fallend:

Eine Funktion f ist '''streng''' steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:

{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} 	 

Eine Funktion f ist '''streng''' fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:

{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}} 	

(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)

<div class="exempel">
'''Beispiel 1'''

<ol type="a">
  <li> Die Funktion <math>y= f(x)</math> wessen Graph unten gezeichnet ist, ist fallend im Intervall <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
  <li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng fallend.</li>
  <li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng steigend für <math>x \ge 0</math>.</li>
</ol>


{| align="center"
|-
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f stückweise linear und konstant ist}}
| width="10px" |
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = -x³/4}}
| width="10px"|
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x²}}
|-
||<small>Graph of Die Funktion in part <br> &nbsp;a</small>
||
||<small>Graph of Die Funktion<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
||
||<small>Graph of Die Funktion<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
|}

</div>

Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man sich von der Ableitung der Funktion. Es gilt dass:

{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0  \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}</math>}}

Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion wessen Ableitung in einen bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einen isolierten Punkt null ist, und nicht auf einen Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.


== Stationäre Punkte  ==

Punkte wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>  benennt man als stationäre Punkte, oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von Stationären Punkten:
* Lokaler Hochpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts vom Punkt ist.
* Lokaler Tiefpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts vom Punkt ist.
* Sattelpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> oder <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> auf beiden Seiten des Punktes ist. 

Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt ''[[#Maxima und Minima|Maxima und Minima]]''.

== Sattelpunkte ==

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.


<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
{| width="85%" align="center"
||<small> Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn ''x''&nbsp;=&nbsp;0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensinn, haben keine Sattelpunkte.</small>
|}


<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - x⁵}}</center>
		 
Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokalen Hochpunkt in <math>x = 2</math>.


== Vorzeichentabelle  ==

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen. 

Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte wo <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen Stationären Punkten. 

<div class="exempel">
'''Beispiel 2'''

Machen Sie eine Vorzeichentabelle von der Funktion <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> und zeichnen Sie die Funktion.
<br>
<br>
Die Ableitung der Funktion ist

{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}

Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ linkt von <math>x=-2</math> and positiv rechts von <math>x=-2</math>. Durch diese Information erschaffen wir eine Tabelle:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
|style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>2</math>
|style="background:#efefef;"|   
|-
|width="50px" align="center"| <math>x-2</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>	
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|width="50px" align="center"| <math>x+2</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>	
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|}

Nachdem die Ableitung der Produkt von <math>x-2</math> und <math>x+2</math> ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|	
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>2</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|   
|-
|width="50px" align="center"| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>	
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|width="50px" align="center"| <math>f(x)</math>
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math> 
|width="50px" align="center"| <math>22</math>
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
|width="50px" align="center"| <math>-10</math>
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>  
|}

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen indiziert ob die Funktion streng steigend&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> oder streng fallend&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> ist im Intervall, und zusätzlich die Werte der Funktion in den Stationären Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=2</math>.

Von der Tabelle sehen wir dass die Funktion einen lokalen Hochpunkt in <math>(–2, 22)</math> hat, und einen lokalen Tiefpunkt in <math>(2, –10)</math> hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>

</div>


== Maxima und Minima (Extremwerte) ==


A point at which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its immediate surroundings        is called a ''local maximum '' or ''local minimum'' (often abbreviated to max and min). Local maxima and minima are together known as ''extrema''.

An extremum may occur in one of three ways: 

:* At a stationary point (where <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
:*  At a point where the derivative does not exist (known as a ''singular point'').
:* At an endpoint to the interval where Die Funktion is defined.

<div class="exempel">
''' Beispiel 3'''

For Die Funktion below there are  four extrema: maximum at  <math>x=c</math> and <math>x=e</math>, and minimum at <math>x=a</math> and <math>x=d</math>.

<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerten in den punkten x = a, b, c, d, e hat}}</center>
		 
At <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=d</math> one has <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, but it is only at <math>x=a</math> and  <math>x=d</math> that there are extrema, since <math>x=b</math> is a stationary point of inflexion. 

At <math>x=c</math> the derivative is not defined (as it is a cusp or corner of the curve and it is not possible to determine the slope). The point <math>x=e</math> is an endpoint. 

</div>

When one is looking for the extrema of a function  one must discover and examine all possible candidates for these  points. An appropriate working procedures is: 
 
:# Differentiate Die Funktion. 
:# Check to see if there are any points where <math>f^{\,\prime}(x)</math> is not defined. 
:# Determine all points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
:# Make a table of signs to locate and classify all of the extrema. 
:# Calculate the value of Die Funktion  for all the extrema and at  any endpoints. 
 
<div class="exempel">
''' Beispiel 4'''

Determine all the extrema of the curve <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
<br>
<br>
Die Funktion's  derivative is given by 

{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}

In order to determine how the sign  of the derivative varies along the real-number axis, we factorise the derivative as completely as possible. We have already managed to take out the factor <math>12x</math> and we can factorise further  the remaining term <math>x^2+x-2</math> by identifying its zeros 

{{Abgesetzte Formel||<math>
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1.</math>}}

This means that  <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> and  the derivative can be rewritten as 

{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}

It can be seen immediately from this   that the derivative is zero for <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> and <math>x=1</math>. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of <math>x</math>.

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|	
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|  
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| 
|-
|width="40px" align="center"| <math>x+2</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>	
|width="40px" align="center"| <math>0</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|width="40px" align="center"| <math>x</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>	
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>0</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|width="40px" align="center"| <math>x-1</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>	
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>0</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math> 
|- 
|}

The derivative is the product of these factors, and we may obtain the sign of the  derivative by multiplying together signs of the factors  in each interval. 

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|	
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"|  
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
|width="40px" align="center" style="background:#efefef;"| 
|-
|width="40px" align="center"| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>0</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math>
|width="40px" align="center"| <math>0</math>
|width="40px" align="center"| <math>-</math>
|width="40px" align="center"| <math>0</math>
|width="40px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|width="40px" align="center"| <math>f(x)</math>
|width="40px" align="center"| <math>\searrow</math>
|width="40px" align="center"| <math>-20</math>
|width="40px" align="center"| <math>\nearrow</math>
|width="40px" align="center"| <math>12</math>
|width="40px" align="center"| <math>\searrow</math>
|width="40px" align="center"| <math>7</math>
|width="40px" align="center"| <math>\nearrow</math> 
|-
|}

The curve has thus local minima at <math>(–2, –20)</math> and <math>(1, 7)</math> and a local maximum at <math>(0, 12)</math>.

</div>

<div class="exempel">
''' Beispiel 5'''

Determine all extrema of the curve <math>y= x - x^{2/3}</math>.
<br>
<br>
The derivative of Die Funktion is given by 

{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 1 -  \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3}
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}

From this expression, we see that  <math>y'</math> is not  defined for  <math>x = 0</math> (although which   <math>y</math> is  defined). This means that Die Funktion has a singular point at <math>x=0</math>.

The stationary points of Die Funktion are given by 

{{Abgesetzte Formel||<math>
y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad
1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad
\sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}

The only points at which Die Funktion might have an extremum are thus <math>x=0</math> and <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. In order to determine the nature of these points we create  a table of  signs: 

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|	
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>\frac{8}{27}</math>
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|   
|-
|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>	
|width="50px" align="center"| not def.
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math> 
|-
|width="50px" align="center"| <math>y</math>
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math> 
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
|width="50px" align="center"| <math>-\frac{4}{27}</math>
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>  
|}

The curve has a local maximum at <math>(0, 0)</math> (a cusp) and a local minimum at <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.

<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>

</div>


== Global min / max  ==

A function has a''global'' maximum  at a point if  its value there is greater than, or at least equal to, its value at any other point where it is defined; similarly, a global minimum is a point where Die Funktion's value is less than, or at most equal to, its value anywhere else.


To determine a function's global max or min one must therefore find all the extrema and calculate the values of Die Funktion  at them. If Die Funktion is defined on an interval with endpoints,  one must of course also examine its value at these points. 


Note that a function need not have a global max or a global min, even if it has several local extrema.  

<div class="exempel">
''' Beispiel 6'''

<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>

In the first figure Die Funktion has no  global maximum nor global minimum. In the second figure the  function has no global minimum. 

</div>

In applications, circumstances often dictate that a function has  a limited interval where it is defined, i.e. one  only studies  part of the graph of Die Funktion. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval. 

<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
		
The above function is only of interest  in the interval <math>a\le x \le e</math>. We see that the minimum value of Die Funktion in this interval occurs at the stationary point <math>x=b</math>, while the maximim value is found at the endpoint <math>x=e</math>.


<div class="exempel">
''' Beispiel 7'''

Determine the maximum and minimum value of Die Funktion  <math>f(x) =  x^3 -3x + 2</math>  in the interval <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
<br>
<br>
We differentiate Die Funktion, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, and put the derivative equal to zero to obtain all the stationary points 

{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}

The point <math>x = –1</math> is outside the  interval on which Die Funktion is defined, and <math>x = 1</math>  lies at one endpoint of this interval. Since Die Funktion has no singular points (it is differentiable everywhere), its maximum and minimum must be at the interval's endpoints, 

{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}

Die Funktion's maximum value   on the given interval is thus <math>3\textrm{.}375</math>. The minimum value is <math>0</math> (see the figure).

<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
		 
The figure shows Die Funktion with the whole graph as a dashed curve , with the part that is within the given interval appearing as a continuous curve. 

</div>


== The second derivative  ==

The sign of the derivative of a function gives us information about whether Die Funktion is increasing or decreasing. Similarly, the sign of the ''second'' derivative can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extremum is a maximum or minimum.


If Die Funktion <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, then
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly decreasing in some interval surrounding <math>x=a</math>.
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the left of  <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the right of <math>x=a</math>.
# This means that Die Funktion <math>f(x)</math> has a local maximum  at <math>x=a</math>.

<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
||<small> If the derivative is positive to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and negative  to the right of  ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the  function has a local maximum at  ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}


If Die Funktion <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>,  then
# The derivative  <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly increasing in some interval around <math>x=a</math>.
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the right of <math>x=a</math>.
# This means that Die Funktion <math>f(x)</math> has a local minimum at <math>x=a</math>.

<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
||<small>If the derivative is negative to the left of   ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and positive  to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the  function has a local minimum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}


If <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, no information can be deduced, and further investigation is required, for example by means of a table of  signs. Note in particular that <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> does ''not'' imply that the point is a stationary point of inflexion (although <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> at all points of inflexion, it can also be zero elsewhere, including at maxima and minima).


<div class="exempel">
'''Beispiel 8'''

Determine all the extrema of Die Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> and determine their character by using the second derivative. 
<br>
<br>
This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If Die Funktion has any extrema,  they must therefore be found among the stationary points. We thus differentiate Die Funktion,  <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, and equate the derivative  to zero 

{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}

Die Funktion has  stationary points  at <math>x = 1</math>  and <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. By examining the sign of the second derivative <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, we can classify each stationary point . 

* For <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> and that means that <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> is a local maximum. 
* For <math>x=1</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> and that means that <math>x=1</math> is a local maximum.

</div>
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2. Integralrechnung

3. Komplexe Zahlen

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