Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.

Der Faktor \displaystyle y^{2}+4y+4 kann wie \displaystyle y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können

\displaystyle y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}

Der Faktor \displaystyle 2y-4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von \displaystyle 2, da \displaystyle 2y-4=2\left( y-2 \right)\,.

\displaystyle y^{2}-4 kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:

\displaystyle y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}

\displaystyle y^{2}+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, Wäre dies möglich müsste es ein a und b geben für die gilt: \displaystyle (y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b

würde das bedeuten dass \displaystyle y^{2}+4 = (y-a)(y-b), für irgendwelche Zahlen a und b, wobei \displaystyle y=a und \displaystyle y=b die Wurzeln von \displaystyle y^{2}+4 sind. Nachdem \displaystyle y^{2}+4 aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist \displaystyle y^{2}+4 immer gleich oder grösser als \displaystyle 4, unabhängig von \displaystyle y. Daher kann \displaystyle y^{2}+4 nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.

Daher ist

\displaystyle \frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}