Lösung 4.4:7c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Um die Gleichung cos3x=sin4x zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung

Wir wissen, dass es für ein fixes u zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich v=u und v=−u.

Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel 2 gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade x=cosu wird dann y=cosu und die Winkel u und -u werden u+2 und −u+2.

Die Winkel u+2 und −u+2 haben daher dieselbe y-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

für ein fixes u erfüllt, wenn v=u+2, und allgemein, wenn

v=u+2+2n

In unseren Fall ist die Gleichung cos3x=sin4x erfüllt, wenn

4x=3x+2+2n.

Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen

xx=2+2n=14+72n