Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Um die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung

\displaystyle \cos u=\cos v\,\textrm{.}

Wir wissen, dass es für ein fixes u zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich \displaystyle v=u und \displaystyle v=-u.

Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade \displaystyle x=\cos u wird dann \displaystyle y=\cos u und die Winkel u und -u werden \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2.

Die Winkel \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2 haben daher dieselbe y-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

\displaystyle \cos u = \sin v

für ein fixes u erfüllt, wenn \displaystyle v = \pm u + \pi/2, und allgemein, wenn

\displaystyle v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,.

In unseren Fall ist die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x erfüllt, wenn

\displaystyle 4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}

Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,, \end{align}\right.