Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Die Ausdrücke \displaystyle \ln\bigl(x^2+3x\bigr) und \displaystyle \ln\bigl(3x^2-2x \bigr) sind gleich wenn deren Argumente Gleich sind, also wenn

\displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}

Hier müssen wir aber vorsichtig sein. Falls beide seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen ob die Ausdrücke \displaystyle x^2 + 3x und \displaystyle 3x^2 - 2x positiv sind, für unsere Lösungen x.

Wir sammeln alle Terme auf einer Seite, und erhalten so eine quadratische Gleichung.

\displaystyle 2x^2-5x=0

Nachdem alle Terme x enthalten, ziehen wir den Faktor x heraus

\displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{.}

und sehen direkt dass die Lösungen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=5/2\, sind.

Wir sehen dass wenn \displaystyle x=0 ist \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0, und also ist \displaystyle x=0 keine Lösung. \displaystyle x=5/2 ergibt aber \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0, also ist \displaystyle x=5/2 eine Lösung.