Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Die Ausdrücke \displaystyle \ln\bigl(x^2+3x\bigr) und \displaystyle \ln\bigl(3x^2-2x \bigr) sind gleich, wenn deren Argumente gleich sind, also wenn

\displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}

Hier müssen wir aber vorsichtig sein: Falls beide Seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen, ob die Ausdrücke \displaystyle x^2 + 3x und \displaystyle 3x^2 - 2x für unsere Lösungen x positiv sind.

Wir schreiben alle Terme auf eine Seite und erhalten so eine quadratische Gleichung:

\displaystyle 2x^2-5x=0

Nachdem alle Terme x enthalten, ziehen wir den Faktor x heraus

\displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{.}

Wir sehen direkt, dass die Lösungen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=5/2\, sind.

Wir sehen, dass, wenn \displaystyle x=0, dann \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0. Also ist \displaystyle x=0 keine Lösung. \displaystyle x=5/2 ergibt aber \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0, also ist \displaystyle x=5/2 eine Lösung.