Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| | {{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}} | | {{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}} |
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| - | <math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, | + | <math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, müsste es ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>, wobei <math> a + b = 0 </math> und <math> a \cdot b = 4</math> gelten muss. Aus <math>a+b=0 </math> folgt <math>a=-b</math>. Daraus ergibt sich also, dass ''a'' und ''b'' verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann <math>a \cdot b</math> nicht 4 sein, so dass es keine ''a'' und ''b'' gibt für die die Gleichung gilt. |
| - | Wäre dies möglich müsste es ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>, wobei <math> a + b = 0 </math> und <math> a \cdot b = 4</math> gelten muss. Aus <math>a+b=0M/math> folgt <math>a=-b</math>. Daraus ergibt sich also, dass ''a'' und ''b'' verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann <math>a \cdot b</math> nicht 4 sein, so dass es keine ''a'' und ''b'' gibt für die die Gleichung gilt.
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Aktuelle Version
Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.
Der Faktor y2+4y+4 kann wie y2+2
2y+22 geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können
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| y2+4y+4=y2+22y+22=(y+2)2.
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Der Faktor 2y−4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von 2, da 2y−4=2
y−2
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y2−4 kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:
y2+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, müsste es a und b geben für die gilt: (y+a)(y+b)=y2+(a+b)y+ab, wobei a+b=0 und ab=4 gelten muss. Aus a+b=0 folgt a=−b. Daraus ergibt sich also, dass a und b verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann ab nicht 4 sein, so dass es keine a und b gibt für die die Gleichung gilt.
Daher ist
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| (y2+4)(y2−4)(y2+4y+4)(2y−4)=(y+2)22(y−2)(y2+4)(y+2)(y−2)=(y2+4)2(y+2).
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