Lösung 2.3:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math>ax^{2}-2ax-2a=0</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>ax^{2}-2ax-2a=0</math>}} | ||
und dieselben Wurzeln erhalten. | und dieselben Wurzeln erhalten. | ||
Version vom 09:51, 6. Aug. 2009
Eine lineare Gleichung mit der Wurzel \displaystyle x=1+\sqrt{3}, ist \displaystyle x-(1+\sqrt{3}\,)=0 oder auch \displaystyle x-1-\sqrt{3} = 0. In der gleichen Weise sehen wir, dass \displaystyle x-(1-\sqrt{3}\,)=0 oder \displaystyle x-1+\sqrt{3}=0 die Wurzel \displaystyle x=1-\sqrt{3} hat. Multiplizieren wir die beiden linearen Terme, erhalten wir eine quadratische Gleichung mit den Wurzeln \displaystyle x=1+\sqrt{3} und \displaystyle x=1-\sqrt{3},
| \displaystyle (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0\,\textrm{.} |
Wir können jetzt, falls wir wollen, die Gleichung \displaystyle (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0 auf Standardform schreiben, indem wir die linke Seite erweitern
| \displaystyle \begin{align}
(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) &= x^{2} - x + \sqrt{3}x - x + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{3}x + \sqrt{3} - (\sqrt{3}\,)^{2}\\[5pt] &= x^{2} + (-x+\sqrt{3}x-x-\sqrt{3}x) + (1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3)\\[5pt] &= x^{2}-2x-2 \end{align} |
und erhalten die Gleichung \displaystyle x^{2}-2x-2=0\,.
Hinweis: Wir vorher können wir die Gleichung mit einer beliebigen konstante a (a\displaystyle \ne 0) multiplizieren
| \displaystyle ax^{2}-2ax-2a=0 |
und dieselben Wurzeln erhalten.
