Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Eine lineare Gleichung mit der Nullstelle \displaystyle x=1+\sqrt{3}, ist \displaystyle x-(1+\sqrt{3}\,)=0 oder auch \displaystyle x-1-\sqrt{3} = 0. In der gleichen Weise sehen wir, dass \displaystyle x-(1-\sqrt{3}\,)=0 oder \displaystyle x-1+\sqrt{3}=0 die Nullstelle \displaystyle x=1-\sqrt{3} hat. Multiplizieren wir die beiden linearen Terme, erhalten wir eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen \displaystyle x=1+\sqrt{3} und \displaystyle x=1-\sqrt{3},

\displaystyle (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0\,\textrm{.}

Wir können jetzt, falls wir wollen, die Gleichung \displaystyle (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0 auf Standardform schreiben, indem wir die linke Seite erweitern

\displaystyle \begin{align} (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) &= x^{2} - x + \sqrt{3}x - x + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{3}x + \sqrt{3} - (\sqrt{3}\,)^{2}\\[5pt] &= x^{2} + (-x+\sqrt{3}x-x-\sqrt{3}x) + (1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3)\\[5pt] &= x^{2}-2x-2 \end{align}

und erhalten die Gleichung \displaystyle x^{2}-2x-2=0\,.

Hinweis: Wir vorher können wir die Gleichung mit einer beliebigen konstante a (a\displaystyle \ne 0) multiplizieren

\displaystyle ax^{2}-2ax-2a=0

und dieselben Nullstellen erhalten.