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Lösung 2.1:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
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<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, würde das bedeuten dass <math>y^{2}+4 = (y-a)(y-b)</math>, für irgendwelche Zahlen ''a'' und ''b'', wobei <math>y=a</math> und
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<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich,
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Wäre dies möglich müsste es ein ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>
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würde das bedeuten dass <math>y^{2}+4 = (y-a)(y-b)</math>, für irgendwelche Zahlen ''a'' und ''b'', wobei <math>y=a</math> und
<math>y=b</math> die Wurzeln von <math>y^{2}+4</math> sind. Nachdem
<math>y=b</math> die Wurzeln von <math>y^{2}+4</math> sind. Nachdem
<math>y^{2}+4</math> aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist <math>y^{2}+4</math> immer gleich oder grösser als <math>4</math>, unabhängig von <math>y</math>. Daher kann <math>y^{2}+4</math> nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.
<math>y^{2}+4</math> aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist <math>y^{2}+4</math> immer gleich oder grösser als <math>4</math>, unabhängig von <math>y</math>. Daher kann <math>y^{2}+4</math> nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.

Version vom 12:04, 5. Aug. 2009

Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.

Der Faktor y2+4y+4 kann wie y2+22y+22 geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können

y2+4y+4=y2+22y+22=(y+2)2.

Der Faktor 2y−4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von 2, da 2y−4=2y−2 .


y2−4 kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:

y2−4=(y+2)(y−2).

y2+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, Wäre dies möglich müsste es ein a und b geben für die gilt: (y+a)(y+b)=y2+(a+b)y+ab


würde das bedeuten dass y2+4=(y−a)(y−b), für irgendwelche Zahlen a und b, wobei y=a und y=b die Wurzeln von y2+4 sind. Nachdem y2+4 aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist y2+4 immer gleich oder grösser als 4, unabhängig von y. Daher kann y2+4 nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.

Daher ist

(y2+4)(y2−4)(y2+4y+4)(2y−4)=(y+2)22(y−2)(y2+4)(y+2)(y−2)=(y2+4)2(y+2).
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