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4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Version vom 17:12, 23. Jul. 2009

Theorie

Übungen

Inhalt:

Die trigonometrischen Funktionen Kosinus, Sinus und Tangens.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

Die Begriffe Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse und rechtwinklige Dreiecke kennen.

Die Definitionen von Sinus, Kosinus und Tangens durch den Einheitskreis.

Die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für die Winkel \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 und \displaystyle \pi/2 auswendig können.
Die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens durch Drehungen des Einheitskreises für andere Winkel berechnen.
Die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
Trigonometrische Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen.

Rechtwinklige Dreiecke

In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete \displaystyle a und der Ankathete \displaystyle b den Tangens des Winkels \displaystyle u, und wird \displaystyle \tan u geschrieben.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Der Wert des Bruchss \displaystyle \frac{a}{b} ist unabhängig von der Größe des Dreiecks, sondern nur vom Winkel \displaystyle u. Verschiedene Winkel ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man mittels einer Tabelle oder mit Hilfe eines Taschenrechner erhalten.

Beispiel 1

Wie hoch ist der Flaggenmast?

[Image]

Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der unbekannten Seite \displaystyle x.

[Image]

Aus der Definition des Tangens erhalten wir

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}\,.

Nachdem \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84 erhalten wir

\displaystyle

 x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84
   = 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Beispiel 2 Bestimmen sie die Länge der Seite \displaystyle x in der Figur.

[Image]

Wir nennen den Winkel links \displaystyle u und schreiben \displaystyle \tan u auf zwei verschiedene Weisen:

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Nachdem die beiden Gleichungen für \displaystyle \tan u gleich sind, erhalten wir

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}\,.

Wir erhalten \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einem Dreieck, die besondere Namen besitzen, nämlich \displaystyle \cos u = b/c ("Kosinus von \displaystyle u"), und \displaystyle \sin u = a/c (" Sinus von \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Genau wie für die Tangensfunktion sind die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion nur von dem Winkel \displaystyle u abhängig, also nicht von der Größe des Dreiecks.

Beispiel 3

[Image]

Im linken Dreieck

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Durch die Definition des Sinus erhalten wir

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

und \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616 gibt uns

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}

[Image]

Der Kosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Also haben wir

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Beispiel 4 Bestimmen Sie \displaystyle \sin u im Dreieck

[Image]

Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Daher ist \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Wichtige Winkel

Für die Winkeln 30°, 45° und 60° ist es einfach, die Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

Beispiel 5

Wir betrachten ein Quadrat mit der Seite 1. Die Diagonale dieses Quadrates teilt einen rechten Winkel in zwei, also in zwei Winkeln von 45°.

[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge \displaystyle x der Diagonale,

\displaystyle

 x^2 = 1^2 + 1^2
 \quad \Leftrightarrow \quad
 x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Jedes Dreieck hat die Diagonale als Hypotenuse, und daher bekommen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen für den Winkel \displaystyle 45^\circ.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Beispiel 6

Wir betrachten ein Dreieck, wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke, haben diese Dreiecke einen Winkel, der \displaystyle 30 \,^{\circ} ist.

[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Betrachten wir eines der kleineren Dreiecke, erhalten wir

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}

Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln

Die trigonometrischen Funktionen für Winkel kleiner als 0° oder größer als 90° definiert man durch den Einheitskreis.

Die trigonometrische Funktionen \displaystyle \cos u und \displaystyle \sin u sind die x- und y-Werte des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel \displaystyle u zur x-Achse.

[Image]

Die Definition der Tangensfunktion ist

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

und daher ist der Steigungswinkel der Geraden u.

Beispiel 7

Bestimmen sie in den Figuren die Kosinus- und Sinuswerte der Winkel:

			\displaystyle \begin{align} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align}
			\displaystyle \begin{align} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align}

Beispiel 8

Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?

\displaystyle \cos 209^\circ Nachdem \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ ist, liegt der Punkt im dritten Quadranten, und daher ist der x-Wert des Punktes negativ und daher auch der Kosinuswert. Also ist \displaystyle \cos 209^\circ negativ .
\displaystyle \sin 133^\circ Nachdem \displaystyle 133^\circ = 90^\circ + 43^\circ, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, wo die y-Werte Positiv sind. Also ist \displaystyle \sin 133^\circ positiv.
\displaystyle \tan (-40^\circ) Indem wir den Winkel \displaystyle -40^\circ im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir, dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist \displaystyle \tan (-40^\circ) negativ.

Beispiel 9

Berechnen Sie \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Wir schreiben \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3} wie

\displaystyle

 \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
                = \frac{3\pi+ \pi}{6}
                = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Daher liegt \displaystyle 2\pi/3 im zweiten Quadranten und bildet den positiven Winkel \displaystyle \pi/6 mit der y-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir, dass die y-Koordinate von \displaystyle 2\pi/3 \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2 ist. Also erhalten wir

\displaystyle

 \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

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Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen

In diesen Abschnitt haben wir den Einheitskreis verwendet, um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit dem Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.

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Der Graph der Sinusfunktion

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Der Graph der Cosinusfunktion

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Der Graph der Tangensfunktion

Hier beobachten wir einige interessante Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

Die Kosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode \displaystyle 2\pi. Dies bedeutet, dass \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x und \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. Im Einheitskreis entspricht das einer Drehung von \displaystyle 2\pi, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.

Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode \displaystyle \pi. Also ist \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Zwei Winkel mit der Differenz \displaystyle \pi haben dieselbe Gerade und daher dieselbe Steigung.

Außer eine Verschiebung von \displaystyle \pi/2, sind die Kosinus- und Sinusfunktionen identisch. Genauer ist \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2). Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.

Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei trigonometrischen Gleichungen, nachdem sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.

Beispiel 10

Wie wiele Lösungen hat die Gleichun \displaystyle \cos x = x^2 (wobei \displaystyle x der Winkel in Radianten ist)?

Wir zeichnen die Graphen von \displaystyle y=\cos x und \displaystyle y=x^2 , und sehen, dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen x, wo die y-Werte der beiden Funktionen gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

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Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Die Verwendung von Trigonoetrie vereinfacht viele geometrische Probleme.

Versichern Sie Sich, dass Sie die Definition der trigonometrischen Funktionen durch den Einheitskreis wirklich verstehen.

Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about trigonometry in Per Edström "Interactive Mathematics"

Learn more about trigonometry in the English Wikipedia

Learn more about the unit circle in the English Wikipedia

Nützliche Websites

Experiment with the sine and cosine in the unit circle

Experiment with Euclidean geometry

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.2_Trigonometrische_Funktionen“