Lösung 3.4:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We solve an equation of this type by taking the natural logarithm of both sides
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Wir logarithmieren beide Seiten mit den natürlichen Logarithmus
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}
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Then, using the log law <math>\ln a^{b} = b\cdot \ln a</math>, the unknown <math>x</math> can then be moved down as a factor on the left-hand side
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Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz <math>\ln a^{b} = b\cdot \ln a</math>, und erhalten dadurch
{{Abgesetzte Formel||<math>x\cdot \ln e = \ln 13</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x\cdot \ln e = \ln 13</math>}}
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and then it is simple to solve for <math>x</math>,
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und lösen die Gleichung für <math>x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}
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Note: One thing that we haven't mentioned in this solution is that before we carry out the first step and take the logarithm of both sides of the equation, it is necessary to be certain that the left- and right-hand sides are positive (it is not possible to take the logarithm of a negative number). Because the equation is
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Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen ob beide Seiten positiv sind, bevor wir logarithmieren, nachdem der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist. Nachdem wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=13</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=13</math>}}
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we see directly that the right-hand side is positive. The left-hand side is also positive because “a positive number <math>e\approx 2\textrm{.}718</math> raised to a number” always gives a positive number.
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haben, sehen wir direkt dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von ''e'' positiv ist.

Version vom 16:03, 27. Mär. 2009

Wir logarithmieren beide Seiten mit den natürlichen Logarithmus

\displaystyle \ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}

Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz \displaystyle \ln a^{b} = b\cdot \ln a, und erhalten dadurch

\displaystyle x\cdot \ln e = \ln 13

und lösen die Gleichung für \displaystyle x,

\displaystyle x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}


Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen ob beide Seiten positiv sind, bevor wir logarithmieren, nachdem der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist. Nachdem wir die Gleichung

\displaystyle e^x=13

haben, sehen wir direkt dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von e positiv ist.

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