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Lösung 4.4:7c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
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Wir wissen, dass es für ein fixes ''u'' zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich <math>v=u</math> und <math>v=-u</math>.
Wir wissen, dass es für ein fixes ''u'' zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich <math>v=u</math> und <math>v=-u</math>.
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<center>{{:4.4.7c - Solution - Two unit circles with angles u and -u, respectively}}</center>
Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade <math>x=\cos u</math> wird dann <math>y=\cos u</math> und die Winkel ''u'' und -''u'' werden <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math>.
Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade <math>x=\cos u</math> wird dann <math>y=\cos u</math> und die Winkel ''u'' und -''u'' werden <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math>.
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[[Image:4_4_7_c2.gif|center]]
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<center>{{:4.4.7c - Solution - Two unit circles with angles u + π/2 and -u + π/2, respectively}}</center>
Die Winkel <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math> haben daher dieselbe ''y''-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung
Die Winkel <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math> haben daher dieselbe ''y''-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

Aktuelle Version

Um die Gleichung cos3x=sin4x zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung

cosu=cosv.

Wir wissen, dass es für ein fixes u zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich v=u und v=−u.

[Image]

Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel 2 gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade x=cosu wird dann y=cosu und die Winkel u und -u werden u+2 und −u+2.

[Image]

Die Winkel u+2 und −u+2 haben daher dieselbe y-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

cosu=sinv

für ein fixes u erfüllt, wenn v=u+2, und allgemein, wenn

v=u+2+2n

In unseren Fall ist die Gleichung cos3x=sin4x erfüllt, wenn

4x=3x+2+2n.

Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen

xx=2+2n=14+72n
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