4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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''' Beispiel 9'''
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Calculate <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
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Berechnen Sie <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
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Rewriting
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Wir schreiben <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math> wie
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
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= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
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shows that the angle <math>2\pi/3</math> lands in the the second quadrant and makes the angle <math>\pi/6</math> with the positive ''y''-axis. If we draw an extra triangle as in the figure below on the right, we see that the <math>2\pi/3</math>- point on the unit circle has a ''y''-coordinate, which is equal to the adjacent side <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. So we have that
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Und also liegt <math>2\pi/3</math> in den zweiten Quadrant, und bildet den positiven Winkel <math>\pi/6</math> mit der ''y''-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir dass die ''y''-Koordinate von <math>2\pi/3</math> <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math> ist. Also erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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== The trigonometric functions graphs ==
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== Die Funktionsgraphen des trigonometrischen Funktionen ==
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In the last section, we used a unit circle to define cosine and sine of arbitrary angles and we often will use the unit circle in the future, for example, to derive trigonometric relationships and solve trigonometric equations. However, there are certain characteristics of the trigonometric functions that are better illustrated by drawing their graphs.
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In diesen Abschnitt haben wir uns von den Einheitskreis verwendet um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit den Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
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In these graphs, we might observe several things more clearly than in the unit circle. Some examples are:
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Hier observieren wir einige interessante Eigenschaften von den trigonometrischen Funktionen:
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* The curves for cosine and sine repeat themselves after a change in angle of <math>2\pi</math>, that is the <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> and <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. For the unit circle <math>2\pi</math> corresponds to a revolution, and after a complete revolution angles return to the same location on the unit circle and therefore have the same coordinates.
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* Die Kosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode <math>2\pi</math>. Dies bedeutet dass <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> und <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. Im Einheitskreis entspricht das eine Drehung von <math>2\pi</math>, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.
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*The curve for the tangent repeats itself after a change in angle of <math>\pi</math>, that is <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Two angles which differ by <math>\pi</math> share the same line through the origin of the unit circle and thus their radial lines have the same slope.
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* Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode <math>\pi</math>. Also ist <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Zwei winkeln mit der Differenz <math>\pi</math> haben dieselbe Gerade, und daher dieselbe Steigung.
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*Except for a phase shift of <math>\pi/2</math> the curves for cosine and sine are identical, that is <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; more about this in the next section.
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* Außer eine Verschiebung von <math>\pi/2</math>, sind die Kosinus- und Sinusfunktionen identisch. Mehr genau ist <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>. Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.
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Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei Trigonometrischen Gleichungen, nachdem sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.
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The curves can also be important when examining trigonometric equations. With a simple sketch, you can often get an idea of how many solutions an equation has, and where the solutions lie.
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<div class="exempel">
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''' Beispiel 10'''
''' Beispiel 10'''
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How many solutions has the equation <math>\cos x = x^2</math> ( where <math>x</math> is measured in radians)?
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Wie wiele Lösungen hat die Gleichun <math>\cos x = x^2</math> (wo <math>x</math> der Winkel in Radianten ist)?
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By drawing the graphs <math>y=\cos x</math> and <math>y=x^2</math> we see that the curves intersect in two points. So there are two ''x''-values for which the corresponding ''y''-values are equal. In other words, the equation has two solutions.
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Wir zeichnen die Graphen von <math>y=\cos x</math> und <math>y=x^2</math> , und sehen dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen ''x'', wo die ''y''-Werte der beiden Funktionen Gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
<center>{{:4.2 - Bild - Die Kurven y = cos x und y = x²}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Die Kurven y = cos x und y = x²}}</center>

Version vom 15:51, 3. Apr. 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • The trigonometric functions cosine, sine and tangent.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können :

  • The concepts of acute, obtuse and right angles.
  • The definition of cosine, sine and tangent in the unit circle.
  • The values of cosine, sine and tangent for the standard angles \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 and \displaystyle \pi/2 by heart.
  • To determine the values of cosine, sine and tangent of arguments that can be reduced to a standard angle in a quadrant of the unit circle.
  • To sketch graphs of cosine, sine and tangent.
  • To solve trigonometric problems involving right-angled triangles.

Rechtwinklige Dreiecke

In einen rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete \displaystyle a und der Ankathete \displaystyle b den Tangens des Winkels \displaystyle u, und wird \displaystyle \tan u geschrieben.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Der Wert des Bruches \displaystyle \frac{a}{b} ist unabhängig von der Größe des Dreiecks, sondern ist nur von den Winkel \displaystyle u abhängig. Verschiedene Winkeln ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man durch eine Tabelle oder durch einen Taschenrechner erhalten.

Beispiel 1

Wie hoch ist der Flaggenmast?

[Image]

Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck, mit der unbekannten Seite \displaystyle x.

[Image]

Von der Definition von Tangens erhalten wir

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}

und nachdem \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84 erhalten wir

\displaystyle 
 x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84
   = 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Beispiel 2 Bestimmen sie die Länge von der Seite \displaystyle x in der Figur.

[Image]

Wir benennen den Winkel links als \displaystyle u, und schreiben \displaystyle \tan u in zwei verschiedene Wege.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Nachdem die beiden Gleichungen für math>\tan u</math> gleich sind, erhalten wir

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}

und wir erhalten \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einen Dreieck, die besondere nahmen besitzen, nämlich \displaystyle \cos u = b/c ("Kosinus von \displaystyle u"), und \displaystyle \sin u = a/c (" Sinus von \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Genau wie für den Tangensfunktion, sind die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion nur von den Winkel \displaystyle u abhängig, und also nicht von der Größe des Dreiecks.

Beispiel 3

[Image]

Im linken Dreieck

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Durch die Definition von Sinus erhalten wir

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

und \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616 gibt uns

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}

[Image]

Der Kosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Also haben wir

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Beispiel 4 Bestimmen Sie \displaystyle \sin u im Dreieck

[Image]

Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}

und also ist \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.


Wichtige Winkeln

Für die Winkeln 30°, 45° und 60° ist es einfach die Werten von den trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

Beispiel 5

Wir betrachten eine Quadrate mit der Seite 1. Die Diagonale dieser Quadrate teilt einen rechten Winkel in zwei, und also in zwei Winkeln von 45°.


[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge \displaystyle x der Diagonale,

\displaystyle 
 x^2 = 1^2 + 1^2
 \quad \Leftrightarrow \quad
 x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Jedes Dreieck hat den Diagonal als Hypotenuse, und also bekommen wir die Werte von den trigonometrischen Funktionen für den Winken \displaystyle 45^\circ.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Beispiel 6

Wir betrachten einen Triangel wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich Große Dreiecke, bekommen diese Dreiecke einen Winkel der \displaystyle 30 \,^{\circ} ist.


[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Betrachten wir einen der kleineren Dreiecke erhalten wir

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}


Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln

Die Trigonometrischen Funktionen für Winkeln kleiner als 0° oder größer als 90°, definiert man durch den Einheitskreis.

Die trigonometrische Funktionen \displaystyle \cos u und \displaystyle \sin u sind die x- und y-Werte von den Schnittpunkt zwischen den Einheitskreis und der Geraden mit dem Winkel \displaystyle u zu der x-Achse.

[Image]

Die Definition der Tangensfunktion ist

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

und ist also die Steigung der Geraden mit den Winkel u.


Beispiel 7

Bestimmen sie in den Figuren die Kosinus- und Sinuswerte den Winkeln.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align*}

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align*}

Beispiel 8

Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?

  1. \displaystyle \cos 209^\circ

    Nachdem \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ ist, liegt der Punkt in den dritten Quadrant, und also ist der x-Wert des Punktes negativ, und also auch der Kosinuswert. Also ist \displaystyle \cos 209^\circ negativ .

[Image]

  1. \displaystyle \sin 133^\circ

    Nachdem \displaystyle 133^\circ = 90^\circ + 43^\circ liegt der Punkt im zweiten Quadrant, wo die y-Werte Positiv sind. Also ist \displaystyle \sin 133^\circ positiv.

[Image]

  1. \displaystyle \tan (-40^\circ)

    Indem wir den Winken \displaystyle -40^\circ im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist \displaystyle \tan (-40^\circ) negativ.

[Image]

Beispiel 9

Berechnen Sie \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Wir schreiben \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3} wie

\displaystyle 
 \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
                = \frac{3\pi+ \pi}{6}
                = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Und also liegt \displaystyle 2\pi/3 in den zweiten Quadrant, und bildet den positiven Winkel \displaystyle \pi/6 mit der y-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir dass die y-Koordinate von \displaystyle 2\pi/3 \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2 ist. Also erhalten wir

\displaystyle 
 \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

[Image]


Die Funktionsgraphen des trigonometrischen Funktionen

In diesen Abschnitt haben wir uns von den Einheitskreis verwendet um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit den Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.


[Image]

The graph of the sine function

[Image]

The graph of the cosine function

[Image]

The graph of the tangent function


Hier observieren wir einige interessante Eigenschaften von den trigonometrischen Funktionen:

  • Die Kosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode \displaystyle 2\pi. Dies bedeutet dass \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x und \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. Im Einheitskreis entspricht das eine Drehung von \displaystyle 2\pi, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.
  • Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode \displaystyle \pi. Also ist \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Zwei winkeln mit der Differenz \displaystyle \pi haben dieselbe Gerade, und daher dieselbe Steigung.
  • Außer eine Verschiebung von \displaystyle \pi/2, sind die Kosinus- und Sinusfunktionen identisch. Mehr genau ist \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2). Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.

Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei Trigonometrischen Gleichungen, nachdem sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.

Beispiel 10

Wie wiele Lösungen hat die Gleichun \displaystyle \cos x = x^2 (wo \displaystyle x der Winkel in Radianten ist)?

Wir zeichnen die Graphen von \displaystyle y=\cos x und \displaystyle y=x^2 , und sehen dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen x, wo die y-Werte der beiden Funktionen Gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

[Image]


Übungen

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

If you have studied trigonometry, then you should not be afraid to use it in geometric problems. It often produces a simpler solution.

You may need to spend a lot of time on understanding how to use a unit circle to define the trigonometric functions.

Get into the habit of calculating with precise trigonometric values. It provides a good training in calculating fractions and eventually algebraic rational expressions.

Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references

Learn more about trigonometry in Per Edström "Interactive Mathematics"

Learn more about trigonometry in the English Wikipedia

Learn more about the unit circle in the English Wikipedia


Nützliche Websites

Experiment with the sine and cosine in the unit circle

Experiment with Euclidean geometry

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.2_Trigonometrische_Funktionen“