Lösung 4.4:7c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (hat „Solution 4.4:7c“ nach „Lösung 4.4:7c“ verschoben: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we want to solve the equation <math>\cos 3x = \sin 4x</math>, we need an additional result which tells us for which values of ''u'' and ''v'' the equality
+
Um die Gleichung <math>\cos 3x = \sin 4x</math> zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung
-
<math>\cos u = \sin v</math> holds, but to get that we have to start with the equality <math>\cos u=\cos v</math>.
+
-
 
+
-
So, we start by looking at the equality
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v\,\textrm{.}</math>}}
-
We know that for fixed ''u'' there are two angles <math>v=u</math> and <math>v=-u</math> in the unit circle which have the cosine value <math>\cos u</math>, i.e. their ''x''-coordinate is equal to <math>\cos u\,</math>.
+
Wir wissen dass es für ein fixes ''u'' zwei Winkeln im Einheitskreis gibt für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich <math>v=u</math> und <math>v=-u</math>.
[[Image:4_4_7_c1.gif|center]]
[[Image:4_4_7_c1.gif|center]]
-
Imagine now that the whole unit circle is rotated anti-clockwise an angle <math>\pi/2</math>. The line <math>x=\cos u</math> will become the line <math>y=\cos u</math> and the angles ''u'' and -''u'' are rotated to <math>u+\pi/2</math> and <math>-u+\pi/2</math>, respectively.
+
Jetzt drehen wir den Einheitskreis den Winkel <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeiger. Die Gerade <math>x=\cos u</math> bekommt dann <math>y=\cos u</math> und die Winkeln ''u'' und -''u'' bekommen <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math>,
[[Image:4_4_7_c2.gif|center]]
[[Image:4_4_7_c2.gif|center]]
-
The angles <math>u+\pi/2</math> and <math>-u+\pi/2</math> therefore have their ''y''-coordinate, and hence sine value, equal to <math>\cos u</math>. In other words, the equality
+
Die Winkeln <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math> haben daher dieselbe ''y''-Koordinate, und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u = \sin v</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u = \sin v</math>}}
-
holds for fixed ''u'' in the unit circle when <math>v = \pm u + \pi/2</math>, and more generally when
+
für ein fixes ''u'' erfüllt wenn <math>v = \pm u + \pi/2</math>, und allgemein wenn
-
{{Abgesetzte Formel||<math>v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\qquad</math>(''n'' is an arbitrary integer).}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\qquad</math>}}
-
For our equation <math>\cos 3x = \sin 4x</math>, this result means that ''x'' must satisfy
+
In unseren Fall ist die Gleichung <math>\cos 3x = \sin 4x</math> erfüllt wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
-
This means that the solutions to the equation are
+
und also bekommen wir die allgemeinen Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 32: Zeile 29:
x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,,
x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
- 
-
where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Version vom 12:06, 7. Apr. 2009

Um die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung

\displaystyle \cos u=\cos v\,\textrm{.}

Wir wissen dass es für ein fixes u zwei Winkeln im Einheitskreis gibt für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich \displaystyle v=u und \displaystyle v=-u.

Jetzt drehen wir den Einheitskreis den Winkel \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeiger. Die Gerade \displaystyle x=\cos u bekommt dann \displaystyle y=\cos u und die Winkeln u und -u bekommen \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2,

Die Winkeln \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2 haben daher dieselbe y-Koordinate, und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

\displaystyle \cos u = \sin v

für ein fixes u erfüllt wenn \displaystyle v = \pm u + \pi/2, und allgemein wenn

\displaystyle v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\qquad

In unseren Fall ist die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x erfüllt wenn

\displaystyle 4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}

und also bekommen wir die allgemeinen Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,, \end{align}\right.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:7c“