Lösung 2.1:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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In this fraction, there is the possibility that the numerator and denominator contain common factors which can be eliminated and we therefore try to factorize all expressions to simplest possible form.
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Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren
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The factor <math>y^{2}+4y+4</math> can be rewritten as <math>y^{2}+2\cdot 2y+2^{2}</math>, which opens the way for using the squaring rule
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Der Faktor <math>y^{2}+4y+4</math> kann wie <math>y^{2}+2\cdot 2y+2^{2}</math> geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}</math>}}
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The factor <math>2y-4</math> is already a first-order expression and can therefore not be divided up any further, other than by taking out a factor <math>2</math>, i.e. <math>2y-4=2\left( y-2 \right)\,</math>.
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Der faktor <math>2y-4</math> kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von den Faktor <math>2</math>, nachdem <math>2y-4=2\left( y-2 \right)\,</math>.
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<math>y^{2}-4</math> can be factorized using the conjugate rule to give
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<math>y^{2}-4</math> kann mit der binomischen Formel zerlege werden:
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{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
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On the other hand, <math>y^{2}+4</math> cannot be written as a product of first-order factors. If it were possible to write <math>y^{2}+4 = (y-a)(y-b)</math>, where ''a'' and ''b'' are some numbers, then <math>y=a</math> and
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<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre die möglich, würde das bedeuten dass <math>y^{2}+4 = (y-a)(y-b)</math>, für irgendwelche zahlen ''a'' und ''b'', wo <math>y=a</math> und
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<math>y=b</math> would be zeros of <math>y^{2}+4</math>, but because
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<math>y=b</math> die Wurzeln von <math>y^{2}+4</math> sind. Nachdem
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<math>y^{2}+4</math> is the sum of a square, <math>y^{2}</math>, which cannot have a negative value and the number <math>4</math>, <math>y^{2}+4</math> is always greater than or equal <math>4</math> regardless of how <math>y</math> is chosen. Hence, <math>y^{2}+4</math> cannot be divided up into first-order factors.
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<math>y^{2}+4</math> aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist <math>y^{2}+4</math> immer gleich oder grösser als <math>4</math>, unabhängig von <math>y</math>. Daher kann <math>y^{2}+4</math> nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.
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Thus,
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Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 20:36, 28. Feb. 2009

Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren

Der Faktor \displaystyle y^{2}+4y+4 kann wie \displaystyle y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können

\displaystyle y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}

Der faktor \displaystyle 2y-4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von den Faktor \displaystyle 2, nachdem \displaystyle 2y-4=2\left( y-2 \right)\,.


\displaystyle y^{2}-4 kann mit der binomischen Formel zerlege werden:

\displaystyle y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}

\displaystyle y^{2}+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre die möglich, würde das bedeuten dass \displaystyle y^{2}+4 = (y-a)(y-b), für irgendwelche zahlen a und b, wo \displaystyle y=a und \displaystyle y=b die Wurzeln von \displaystyle y^{2}+4 sind. Nachdem \displaystyle y^{2}+4 aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist \displaystyle y^{2}+4 immer gleich oder grösser als \displaystyle 4, unabhängig von \displaystyle y. Daher kann \displaystyle y^{2}+4 nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.

Daher ist

\displaystyle \frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}
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