Lösung 3.1:5d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(Unterschied zwischen Versionen)
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_1_5d.gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}) |
K |
||
| (Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | {{ | + | Wir erweitern den Bruch mit den konjugierten Nenner <math>\sqrt{17}+\sqrt{13}</math> und erhalten mit der binomischen Formel |
| - | < | + | |
| - | {{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)(a+b) = a^2-b^2</math>}} |
| + | |||
| + | mit <math>a=\sqrt{17}</math> und <math>b=\sqrt{13}</math>. Beide Wurzeln verschwinden, indem wir sie quadrieren. Wir erhalten | ||
| + | |||
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}} | ||
| + | &= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{(\sqrt{17})^{2}-(\sqrt{13})^{2}}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{17-13}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden, weil 13 und 17 Primzahlen sind. | ||
Aktuelle Version
Wir erweitern den Bruch mit den konjugierten Nenner \displaystyle \sqrt{17}+\sqrt{13} und erhalten mit der binomischen Formel
| \displaystyle (a-b)(a+b) = a^2-b^2 |
mit \displaystyle a=\sqrt{17} und \displaystyle b=\sqrt{13}. Beide Wurzeln verschwinden, indem wir sie quadrieren. Wir erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}} &= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{(\sqrt{17})^{2}-(\sqrt{13})^{2}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{17-13}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}\,\textrm{.} \end{align} |
Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden, weil 13 und 17 Primzahlen sind.
