Lösung 3.4:3b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Die Ausdrücke <math>\ln\bigl(x^2+3x\bigr)</math> und <math>\ln\bigl(3x^2-2x \bigr)</math> sind gleich wenn deren Argumente | + | Die Ausdrücke <math>\ln\bigl(x^2+3x\bigr)</math> und <math>\ln\bigl(3x^2-2x \bigr)</math> sind gleich, wenn deren Argumente gleich sind, also wenn |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Hier müssen wir aber vorsichtig sein | + | Hier müssen wir aber vorsichtig sein: Falls beide Seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen, ob die Ausdrücke <math>x^2 + 3x</math> und <math>3x^2 - 2x</math> für unsere Lösungen ''x'' positiv sind. |
| - | Wir | + | Wir schreiben alle Terme auf eine Seite und erhalten so eine quadratische Gleichung: |
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2-5x=0</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>2x^2-5x=0</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{.}</math>}} | ||
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und <math>x=5/2\,</math> sind. | und <math>x=5/2\,</math> sind. | ||
| - | Wir sehen dass wenn <math>x=0</math> | + | Wir sehen, dass, wenn <math>x=0</math>, dann <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0</math>. Also ist <math>x=0</math> keine Lösung. <math>x=5/2</math> ergibt aber <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0</math>, also ist <math>x=5/2</math> eine Lösung. |
Aktuelle Version
Die Ausdrücke \displaystyle \ln\bigl(x^2+3x\bigr) und \displaystyle \ln\bigl(3x^2-2x \bigr) sind gleich, wenn deren Argumente gleich sind, also wenn
| \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.} |
Hier müssen wir aber vorsichtig sein: Falls beide Seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen, ob die Ausdrücke \displaystyle x^2 + 3x und \displaystyle 3x^2 - 2x für unsere Lösungen x positiv sind.
Wir schreiben alle Terme auf eine Seite und erhalten so eine quadratische Gleichung:
| \displaystyle 2x^2-5x=0 |
Nachdem alle Terme x enthalten, ziehen wir den Faktor x heraus
| \displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{.} |
Wir sehen direkt, dass die Lösungen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=5/2\, sind.
Wir sehen, dass, wenn \displaystyle x=0, dann \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0. Also ist \displaystyle x=0 keine Lösung. \displaystyle x=5/2 ergibt aber \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0, also ist \displaystyle x=5/2 eine Lösung.
