Lösung 3.4:1a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Wir logarithmieren beide Seiten mit | + | Wir logarithmieren beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz <math>\ln a^{b} = b\cdot \ln a</math> | + | Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz <math>\ln a^{b} = b\cdot \ln a</math> und erhalten dadurch |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>x\cdot \ln e = \ln 13</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>x\cdot \ln e = \ln 13\,.</math>}} |
| - | + | Wir lösen die Gleichung für <math>x</math>: | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen | + | Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen, dass beide Seiten positiv sind, bevor wir logarithmieren, weil der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist. Nachdem wir die Gleichung |
{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=13</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>e^x=13</math>}} | ||
| - | haben, sehen wir direkt dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von ''e'' positiv ist. | + | haben, sehen wir jedoch direkt, dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von ''e'' positiv ist. |
Aktuelle Version
Wir logarithmieren beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus:
| \displaystyle \ln e^x = \ln 13\,\textrm{.} |
Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz \displaystyle \ln a^{b} = b\cdot \ln a und erhalten dadurch
| \displaystyle x\cdot \ln e = \ln 13\,. |
Wir lösen die Gleichung für \displaystyle x:
| \displaystyle x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.} |
Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen, dass beide Seiten positiv sind, bevor wir logarithmieren, weil der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist. Nachdem wir die Gleichung
| \displaystyle e^x=13 |
haben, sehen wir jedoch direkt, dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von e positiv ist.
