Lösung 2.1:5d

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In this fraction, there is the possibility that the numerator and denominator contain common factors which can be eliminated and we therefore try to factorize all expressions to simplest possible form.
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Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.
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The factor <math>y^{2}+4y+4</math> can be rewritten as <math>y^{2}+2\cdot 2y+2^{2}</math>, which opens the way for using the squaring rule
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Der Faktor <math>y^{2}+4y+4</math> kann wie <math>y^{2}+2\cdot 2y+2^{2}</math> geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}</math>}}
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The factor <math>2y-4</math> is already a first-order expression and can therefore not be divided up any further, other than by taking out a factor <math>2</math>, i.e. <math>2y-4=2\left( y-2 \right)\,</math>.
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Der Faktor <math>2y-4</math> kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von <math>2</math>, da <math>2y-4=2\left( y-2 \right)\,</math>.
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<math>y^{2}-4</math> can be factorized using the conjugate rule to give
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<math>y^{2}-4</math> kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:
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{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
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On the other hand, <math>y^{2}+4</math> cannot be written as a product of first-order factors. If it were possible to write <math>y^{2}+4 = (y-a)(y-b)</math>, where ''a'' and ''b'' are some numbers, then <math>y=a</math> and
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<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, müsste es ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>, wobei <math> a + b = 0 </math> und <math> a \cdot b = 4</math> gelten muss. Aus <math>a+b=0 </math> folgt <math>a=-b</math>. Daraus ergibt sich also, dass ''a'' und ''b'' verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann <math>a \cdot b</math> nicht 4 sein, so dass es keine ''a'' und ''b'' gibt für die die Gleichung gilt.
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<math>y=b</math> would be zeros of <math>y^{2}+4</math>, but because
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<math>y^{2}+4</math> is the sum of a square, <math>y^{2}</math>, which cannot have a negative value and the number <math>4</math>, <math>y^{2}+4</math> is always greater than or equal <math>4</math> regardless of how <math>y</math> is chosen. Hence, <math>y^{2}+4</math> cannot be divided up into first-order factors.
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Thus,
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Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.

Der Faktor \displaystyle y^{2}+4y+4 kann wie \displaystyle y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können

\displaystyle y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}

Der Faktor \displaystyle 2y-4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von \displaystyle 2, da \displaystyle 2y-4=2\left( y-2 \right)\,.


\displaystyle y^{2}-4 kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:

\displaystyle y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}

\displaystyle y^{2}+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, müsste es a und b geben für die gilt: \displaystyle (y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b, wobei \displaystyle a + b = 0 und \displaystyle a \cdot b = 4 gelten muss. Aus \displaystyle a+b=0 folgt \displaystyle a=-b. Daraus ergibt sich also, dass a und b verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann \displaystyle a \cdot b nicht 4 sein, so dass es keine a und b gibt für die die Gleichung gilt.


Daher ist

\displaystyle \frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}
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