Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	If we want to solve the equation <math>\cos 3x = \sin 4x</math>, we need an additional result which tells us for which values of ''u'' and ''v'' the equality	+	Um die Gleichung <math>\cos 3x = \sin 4x</math> zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung
-	<math>\cos u = \sin v</math> holds, but to get that we have to start with the equality <math>\cos u=\cos v</math>.	+
-		+
-	So, we start by looking at the equality	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v\,\textrm{.}</math>}}
-	We know that for fixed ''u'' there are two angles <math>v=u</math> and <math>v=-u</math> in the unit circle which have the cosine value <math>\cos u</math>, i.e. their ''x''-coordinate is equal to <math>\cos u\,</math>.	+	Wir wissen, dass es für ein fixes ''u'' zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich <math>v=u</math> und <math>v=-u</math>.
-	[[Image:4_4_7_c1.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.7c - Solution - Two unit circles with angles u and -u, respectively}}</center>
-	Imagine now that the whole unit circle is rotated anti-clockwise an angle <math>\pi/2</math>. The line <math>x=\cos u</math> will become the line <math>y=\cos u</math> and the angles ''u'' and -''u'' are rotated to <math>u+\pi/2</math> and <math>-u+\pi/2</math>, respectively.	+	Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade <math>x=\cos u</math> wird dann <math>y=\cos u</math> und die Winkel ''u'' und -''u'' werden <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math>.
-	[[Image:4_4_7_c2.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.7c - Solution - Two unit circles with angles u + π/2 and -u + π/2, respectively}}</center>
-	The angles <math>u+\pi/2</math> and <math>-u+\pi/2</math> therefore have their ''y''-coordinate, and hence sine value, equal to <math>\cos u</math>. In other words, the equality	+	Die Winkel <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math> haben daher dieselbe ''y''-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u = \sin v</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u = \sin v</math>}}
-	holds for fixed ''u'' in the unit circle when <math>v = \pm u + \pi/2</math>, and more generally when	+	für ein fixes ''u'' erfüllt, wenn <math>v = \pm u + \pi/2</math>, und allgemein, wenn
-	{{Abgesetzte Formel||<math>v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\qquad</math>(''n'' is an arbitrary integer).}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,.</math>}}
-	For our equation <math>\cos 3x = \sin 4x</math>, this result means that ''x'' must satisfy	+	In unseren Fall ist die Gleichung <math>\cos 3x = \sin 4x</math> erfüllt, wenn
	{{Abgesetzte Formel||<math>4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
-	This means that the solutions to the equation are	+	Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen
	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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	x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,,		x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,,
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-
-	where ''n'' is an arbitrary integer.

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Aktuelle Version

Um die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung

\displaystyle \cos u=\cos v\,\textrm{.}

Wir wissen, dass es für ein fixes u zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich \displaystyle v=u und \displaystyle v=-u.

Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade \displaystyle x=\cos u wird dann \displaystyle y=\cos u und die Winkel u und -u werden \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2.

Die Winkel \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2 haben daher dieselbe y-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

\displaystyle \cos u = \sin v

für ein fixes u erfüllt, wenn \displaystyle v = \pm u + \pi/2, und allgemein, wenn

\displaystyle v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,.

In unseren Fall ist die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x erfüllt, wenn

\displaystyle 4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}

Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,, \end{align}\right.