4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Selected tab|[[4.2 Trigonometric functions|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[4.2 Trigonometrische Funktionen|Theorie]]}}
-
{{Not selected tab|[[4.2 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[4.2 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*The trigonometric functions cosine, sine and tangent.
+
*Die trigonometrischen Funktionen Cosinus, Sinus und Tangens.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned :
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*The concepts of acute, obtuse and right angles.
+
*Die Begriffe Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse und rechtwinklige Dreiecke kennen.
-
*The definition of cosine, sine and tangent in the unit circle.
+
 
-
*The values of cosine, sine and tangent for the standard angles <math>0</math>, <math>\pi/6</math> , <math>\pi/4</math> , <math>\pi/3</math> and <math>\pi/2</math> by heart.
+
*Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens durch den Einheitskreis.
-
*To determine the values of cosine, sine and tangent of arguments that can be reduced to a standard angle in a quadrant of the unit circle.
+
 
-
* To sketch graphs of cosine, sine and tangent.
+
*Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für die Winkel <math>0</math>, <math>\pi/6</math> , <math>\pi/4</math> , <math>\pi/3</math> und <math>\pi/2</math> auswendig können.
-
*To solve trigonometric problems involving right-angled triangles.
+
*Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens durch Drehungen des Einheitskreises für andere Winkel berechnen.
 +
*Die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
 +
*Trigonometrische Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen.
}}
}}
-
== Trigonometry of right-angled triangles ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
In the right-angled triangle below the ratio between the opposite side <math>a</math> and the adjacent side <math>b</math> is called the tangent of the angle <math>u</math> and is written as <math>\tan u</math>.
+
== A - Rechtwinklige Dreiecke ==
 +
 
 +
In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete <math>a</math> und der Ankathete <math>b</math> den Tangens des Winkels <math>u</math>, und wird <math>\tan u</math> geschrieben.
<center>
<center>
Zeile 39: Zeile 43:
</center>
</center>
-
The value of the ratio <math>\frac{a}{b}</math> is not dependent on the size of the triangle, but only on the angle <math>u</math>. For different values of the angle, you can get the equivalent value of the tangent either from a trigonometric table or by using a calculator (the relevent button is usually named tan).
+
Der Wert des Bruches <math>\frac{a}{b}</math> verändert sich nicht, wenn a und b mit der selben Zahl multipliziert werden. Das heißt, die tatsächliche Länge der Seiten ist egal, es zählt nur das Verhältnis der Längen zueinander. Daraus können wir schließen, dass der Bruch auch unabhängig davon ist, ob die Längen in Metern, Zentimetern, Inchs etc gemessen werden. Verschiedene Winkel ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man mittels einer Tabelle oder mit Hilfe eines Taschenrechner erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
How high is the flagpole?
+
Wie hoch ist der Flaggenmast?
<center>{{:4.2 - Bild - Flaggenmast}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Flaggenmast}}</center>
-
The flagpole and its shadow form a rectangular triangle where the vertical side is unknown (marked with <math>x</math> below).
+
Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der unbekannten Seite <math>x</math>.
<center>{{:4.2 - Bild - Flaggenmastdreieck}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Flaggenmastdreieck}}</center>
-
From the definition of tangent, we have that
+
Aus der Definition des Tangens erhalten wir
-
{{Displayed math||<math>\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}\,.</math>}}
-
and since <math>\tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84</math> we get
+
Nachdem <math>\tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84</math> erhalten wir
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84
+
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84
-
= 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
+
= 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
-
 
+
Bestimme die Länge der Seite <math>x</math> in der Figur.
-
Determine the length of the side designated with the <math>x</math> in the figure.
+
<center>{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck}}</center>
-
If we call the angle at the far left <math>u</math> there are two ways to construct an expression for <math>\tan u</math>.
+
Wir nennen den Winkel links <math>u</math> und schreiben <math>\tan u</math> auf zwei verschiedene Weisen:
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 85: Zeile 88:
| width="5%" |
| width="5%" |
| valign="centger" align="left" |
| valign="centger" align="left" |
-
{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck mit dem größeren Dreieck geschattet}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck mit dem größeren Dreieck schattiert}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" valign="center" align="left" |
| width="85%" valign="center" align="left" |
Zeile 91: Zeile 94:
|}
|}
-
Equality of the two expressions for <math>\tan u</math> gives
+
Nachdem die beiden Gleichungen für <math>\tan u</math> gleich sind, erhalten wir
-
{{Displayed math||<math>\frac{22}{40} = \frac{x}{60}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{22}{40} = \frac{x}{60}\,.</math>}}
-
which leads to <math>x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33</math>.
+
Wir erhalten <math>x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33</math>.
</div>
</div>
-
There are two other ratios in right-angled triangles that have special names, and one is <math>\cos u = b/c</math> ("cosine of <math>u</math>") and the other <math>\sin u = a/c</math> (" sine of <math>u</math>").
+
Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einem Dreieck, die besondere Namen besitzen, nämlich <math>\cos u = b/c</math> ("Cosinus von <math>u</math>"), und <math>\sin u = a/c</math> (" Sinus von <math>u</math>").
<center>
<center>
Zeile 112: Zeile 115:
|}
|}
</center>
</center>
-
Like the tangent the ratios that define the cosine and sine do not depend on the size of the triangle, but only on the angle <math>u</math>.
+
Genau wie für die Tangensfunktion sind die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion nur von dem Winkel <math>u</math> abhängig, also nicht von der Größe des Dreiecks.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 128: Zeile 131:
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
In the triangle on the left
+
Im linken Dreieck
-
{{Displayed math||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt]
\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt]
\sin u &= \tfrac{3}{5}
\sin u &= \tfrac{3}{5}
Zeile 145: Zeile 148:
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
The definition of sine gives that
+
Durch die Definition des Sinus erhalten wir
-
{{Displayed math||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
-
and if we know that <math>\sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616</math> then we get
+
und <math>\sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616</math> gibt uns
-
{{Displayed math||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}</math>}}
|-
|-
| height="10px" |
| height="10px" |
Zeile 161: Zeile 164:
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
Cosine is the ratio between the adjacent side and the hypotenuse
+
Der Cosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse
-
{{Displayed math||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
-
Thus
+
Also haben wir
-
{{Displayed math||<math>x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}</math>}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
 
+
Bestimme <math>\sin u</math> im Dreieck
-
Determine <math>\sin u</math> in the triangle
+
<center>{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten ½ und 1}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten ½ und 1}}</center>
-
With the help of the Pythagorean theorem the side on the right can be determined
+
Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen
<center>
<center>
Zeile 184: Zeile 186:
| width="30px" |
| width="30px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
-
<math>1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
+
<math>1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.</math>
|}
|}
</center>
</center>
-
and thus <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
+
Daher ist <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
</div>
</div>
-
== Some standard angles ==
+
== B - Wichtige Winkel ==
-
For some angles namely 30°, 45° and 60° it is relatively easy to calculate the exact values of the trigonometric functions.
+
Für die Winkel 30°, 45° und 60° ist es einfach, die Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
 
+
-
We start with a square having sides of length 1. A diagonal of the square divides the right angles in opposite corners into two equal parts of 45°.
+
-
 
+
-
<center>{{:4.2 - Figure - Two unit squares}}</center>
+
Wir betrachten ein Quadrat mit der Seite 1. Die Diagonale dieses Quadrates teilt einen rechten Winkel in zwei, also in zwei Winkeln von 45°.
-
Using the Pythagorean theorem, we can determine the length <math>x</math> of the diagonal,
+
<center>{{:4.2 - Bild - Zwei Einheitsquadrate}}</center>
-
{{Displayed math||<math>
+
-
x^2 = 1^2 + 1^2
+
-
\quad \Leftrightarrow \quad
+
-
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Each triangle has the diagonal as the hypotenuse, thus we can obtain the value of the trigonometric functions for the angle <math>45^\circ</math>.
+
Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge <math>x</math> der Diagonale,
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
x^2 = 1^2 + 1^2
 +
\quad \Leftrightarrow \quad
 +
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
Jedes Dreieck hat die Diagonale als Hypotenuse, und daher bekommen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen für den Winkel <math>45^\circ</math>.
<center>
<center>
Zeile 218: Zeile 218:
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Figure - The unit square and half of it as a right-angled triangle}}
+
{{:4.2 - Bild - Einheitsquadrat, dessen Hälfte ein rechteckiges Dreieck ist}}
| width="30px" |
| width="30px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
Zeile 232: Zeile 232:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Imagine an equilateral triangle where all sides have length 1. The angles of the triangle are all 60°. The triangle can be divided into two halves by a line that divides the angle at the top in equal parts.
+
Wir betrachten ein Dreieck, wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke, haben diese Dreiecke einen Winkel, der <math>30 \,^{\circ}</math> ist.
-
<center>{{:4.2 - Figure - Two equilateral triangles}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Zwei gleichseitige Dreiecke}}</center>
-
 
+
-
 
+
-
The Pythagorean theorem shows that the vertical side of either half-triangle is <math>x=\sqrt{3}/2</math>. From one of these half-triangles we get that
+
 +
Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe <math>x=\sqrt{3}/2</math>. Betrachten wir eines der kleineren Dreiecke, erhalten wir
<center>
<center>
Zeile 247: Zeile 245:
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Bild - Die Hälfte von einem gleichseitigen Dreieck}}
+
{{:4.2 - Bild - Die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks}}
| width="20px" |
| width="20px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
Zeile 266: Zeile 264:
</div>
</div>
 +
Zusammenfassung:
 +
{| class="wikitable" border="5"
 +
|-
 +
! x
 +
! sin(x)
 +
! cos(x)
 +
! tan(x)
 +
|-
 +
| 0
 +
| 0
 +
| 1
 +
| 0
 +
|-
 +
| <math>\frac{\pi}{6}</math>
 +
| <math>\frac{1}{2}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
 +
|-
 +
| <math>\frac{\pi}{4}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
 +
| 1
 +
|-
 +
| <math>\frac{\pi}{3}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
 +
| <math>\frac{1}{2}</math>
 +
| <math>\sqrt{3}</math>
 +
|-
 +
| <math>\pi</math>
 +
| 0
 +
| -1
 +
| 0
 +
|-
 +
|}
-
== Trigonometric functions for general angles ==
+
Radiant-Grad Umwandlung:
 +
<math>\pi=180°</math>
-
For angles of less than 0° or greater than 90° the trigonometric functions are defined using the unit circle (that is the circle that has its centre at the origin and has a radius 1).
+
also <math>\frac{\pi}{x}[rad]=\frac{180°}{x}</math>
 +
 
 +
Bsp:
 +
 
 +
<math>\frac{\pi}{6}[rad]=\frac{180°}{6}=30°</math>
 +
 
 +
== C- Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln ==
 +
 
 +
Die trigonometrischen Funktionen für Winkel kleiner als 0° oder größer als 90° definiert man durch den Einheitskreis.
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 275: Zeile 316:
|-
|-
| width="90%" valign="center"|
| width="90%" valign="center"|
-
The trigonometric functions <math>\cos u</math> and <math>\sin u</math> are ''x''- and ''y''- coordinates of the intersection between the unit circle and the radial line that forms the angle <math>u</math> with the positive ''x''-axis.
+
Die trigonometrische Funktionen <math>\cos u</math> und <math>\sin u</math> sind die ''x''- und ''y''-Werte des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel <math>u</math> zur ''x''-Achse.
| width="10%" |
| width="10%" |
| align="right" valign="center" |
| align="right" valign="center" |
-
{{:4.2 - Figure - The unit circle with angle u and the point (cos u, sin u)}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel u und dem Punkt (cos u, sin u)}}
|}
|}
</div>
</div>
-
Tangent function is defined as
+
Die Definition der Tangensfunktion ist
-
{{Displayed math||<math>\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}</math>}}
-
and the value of the tangent can be interpreted as the slope for the radial line.
+
und daher ist der Steigungswinkel der Geraden ''u''.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
From the figures below, we obtain the values of cosine and sine.
+
Bestimme in den Figuren die Cosinus- und Sinuswerte der Winkel:
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 301: Zeile 342:
</ol>
</ol>
|align="right" valign="center"|
|align="right" valign="center"|
-
{{:4.2 - Figure - The unit circle with the angle 104° and the point (-0.24,0.97)}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 104° und dem Punkt (-0.24,0.97)}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
Zeile 315: Zeile 356:
</ol>
</ol>
|align="right" valign="center"|
|align="right" valign="center"|
-
{{:4.2 - Figure - The unit circle with angle 201° and the point (-0.93,-0.36)}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 201° und dem Punkt (-0.93,-0.36)}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
Zeile 327: Zeile 368:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 8'''
+
''' Beispiel 8'''
-
Which sign do the following have?
+
Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
Zeile 337: Zeile 378:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since the angle <math>209^\circ</math> can be written as <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> the angle corresponds to a point on the unit circle which lies in the third quadrant. The point has a negative ''x''-coordinate, which means that <math>\cos 209^\circ</math> is negative .</li>
+
Nachdem <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> ist, liegt der Punkt im dritten Quadranten, und daher ist der ''x''-Wert des Punktes negativ und daher auch der Cosinuswert. Also ist <math>\cos 209^\circ</math> negativ .</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
| align="right" |
| align="right" |
-
{{:4.2 - Figure - The unit circle with angle 209° and the line x = cos 209°}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 209° und der Geraden x = cos 209°}}
|-
|-
| width="95%" |
| width="95%" |
Zeile 348: Zeile 389:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The angle <math>133^\circ</math> is equal to <math>90^\circ + 43^\circ</math> and gives a point on the unit circle which lies in the second quadrant. The quadrant has points with positive ''y''-coordinate, and therefore <math>\sin 133^\circ</math> is positive.</li>
+
Nachdem <math>133^\circ = 90^\circ + 43^\circ</math>, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, wo die ''y''-Werte Positiv sind. Also ist <math>\sin 133^\circ</math> positiv.</li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
| align="right" |
| align="right" |
-
{{:4.2 - Figure - The unit circle with the angle 133° and the line y = sin 133°}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 133° und der Geraden y = sin 133°}}
|-
|-
| width="95%" |
| width="95%" |
Zeile 359: Zeile 400:
<br>
<br>
<br>
<br>
-
By drawing angle<math>-40^\circ</math> in the unit circle one obtains a radial line which has a negative slope, i.e. <math>\tan (-40^\circ)</math> is negative. </li>
+
Indem wir den Winkel <math>-40^\circ</math> im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir, dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist <math>\tan (-40^\circ)</math> negativ. </li>
</ol>
</ol>
| width="5%" |
| width="5%" |
| align="right" |
| align="right" |
-
{{:4.2 - Figure - The unit circle with the angle -40° and the line with slope tan -40°}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel -40° und die Gerade mit der Steigung tan -40°}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
-
Calculate <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
+
Berechne <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Rewriting
+
Wir schreiben <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math> wie
-
{{Displayed math||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
+
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
-
= \frac{3\pi+ \pi}{6}
+
= \frac{3\pi+ \pi}{6}
-
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
+
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
-
shows that the angle <math>2\pi/3</math> lands in the the second quadrant and makes the angle <math>\pi/6</math> with the positive ''y''-axis. If we draw an extra triangle as in the figure below on the right, we see that the <math>2\pi/3</math>- point on the unit circle has a ''y''-coordinate, which is equal to the adjacent side <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. So we have that
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Daher liegt <math>2\pi/3</math> im zweiten Quadranten und bildet den positiven Winkel <math>\pi/6</math> mit der ''y''-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir, dass die ''y''-Koordinate von <math>2\pi/3</math> <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math> ist. Also erhalten wir
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{{Displayed math||<math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>
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\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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<center>{{:4.2 - Figure - Two unit circles with angle 2π/3 (angle π/6 with the y-axis)}}</center>
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<center>{{:4.2 - Bild - Zwei Einheitskreise mit dem Winkel 2π/3 (Winkel π/6 mit der y-Achse)}}</center>
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== The trigonometric functions graphs ==
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== D - Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen ==
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In the last section, we used a unit circle to define cosine and sine of arbitrary angles and we often will use the unit circle in the future, for example, to derive trigonometric relationships and solve trigonometric equations. However, there are certain characteristics of the trigonometric functions that are better illustrated by drawing their graphs.
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In diesen Abschnitt haben wir den Einheitskreis verwendet, um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit dem Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Sinuskurve}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Sinuskurve}}</center>
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<center><small>The graph of the sine function </small></center>
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<center><small>Der Graph der Sinusfunktion </small></center>
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<center>{{:4.2 - Bild - Eine Kosinuskurve}}</center>
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<center>{{:4.2 - Bild - Eine Cosinuskurve}}</center>
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<center><small>The graph of the cosine function </small></center>
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<center><small>Der Graph der Cosinusfunktion </small></center>
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Tangenskurve}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Tangenskurve}}</center>
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<center><small>The graph of the tangent function </small></center>
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<center><small>Der Graph der Tangensfunktion </small></center>
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In these graphs, we might observe several things more clearly than in the unit circle. Some examples are:
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Hier beobachten wir einige interessante Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
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* The curves for cosine and sine repeat themselves after a change in angle of <math>2\pi</math>, that is the <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> and <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. For the unit circle <math>2\pi</math> corresponds to a revolution, and after a complete revolution angles return to the same location on the unit circle and therefore have the same coordinates.
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* Die Cosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode <math>2\pi</math>. Dies bedeutet, dass <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> und <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. Im Einheitskreis entspricht das einer Drehung von <math>2\pi</math>, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.
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*The curve for the tangent repeats itself after a change in angle of <math>\pi</math>, that is <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Two angles which differ by <math>\pi</math> share the same line through the origin of the unit circle and thus their radial lines have the same slope.
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* Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode <math>\pi</math>. Also ist <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Zwei Winkel mit der Differenz <math>\pi</math> haben dieselbe Gerade und daher dieselbe Steigung.
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*Except for a phase shift of <math>\pi/2</math> the curves for cosine and sine are identical, that is <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; more about this in the next section.
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* Außer eine Verschiebung von <math>\pi/2</math>, sind die Cosinus- und Sinusfunktionen identisch. Genauer ist <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>. Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.
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Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei trigonometrischen Gleichungen, da sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.
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The curves can also be important when examining trigonometric equations. With a simple sketch, you can often get an idea of how many solutions an equation has, and where the solutions lie.
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
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''' Example 10'''
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''' Beispiel 10'''
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How many solutions has the equation <math>\cos x = x^2</math> ( where <math>x</math> is measured in radians)?
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Wie viele Lösungen hat die Gleichun <math>\cos x = x^2</math> (wobei <math>x</math> der Winkel in Radianten ist)?
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By drawing the graphs <math>y=\cos x</math> and <math>y=x^2</math> we see that the curves intersect in two points. So there are two ''x''-values for which the corresponding ''y''-values are equal. In other words, the equation has two solutions.
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Wir zeichnen die Graphen von <math>y=\cos x</math> und <math>y=x^2</math> und sehen, dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen ''x'', wo die ''y''-Werte der beiden Funktionen gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
<center>{{:4.2 - Bild - Die Kurven y = cos x und y = x²}}</center>
<center>{{:4.2 - Bild - Die Kurven y = cos x und y = x²}}</center>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.2 Übungen|Übungen]]''' .
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[[4.2 Exercises|Exercises]]
 
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'''Study advice'''
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Basic and final tests'''
 
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After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
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'''Bedenke folgendes: '''
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Die Verwendung von Trigonoetrie vereinfacht viele geometrische Probleme.
-
'''Keep in mind that: '''
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Versichere Dich, dass Du die Definition der trigonometrischen Funktionen durch den Einheitskreis wirklich verstehst.
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If you have studied trigonometry, then you should not be afraid to use it in geometric problems. It often produces a simpler solution.
 
-
You may need to spend a lot of time on understanding how to use a unit circle to define the trigonometric functions.
+
'''Literaturhinweise'''
-
Get into the habit of calculating with precise trigonometric values. It provides a good training in calculating fractions and eventually algebraic rational expressions.
+
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
-
'''Reviews'''
 
-
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
 
-
[http://dooku.miun.se/per.edstrom/interaktiv_matematik/trigonometri/cos_even.html Learn more about trigonometry in Per Edström "Interactive Mathematics"]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion Mehr über trigonometrische Funktionen in der Wikipedia]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function Learn more about trigonometry in the English Wikipedia]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis Mehr über den Einheitskreis in der Wikipedia]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle Learn more about the unit circle in the English Wikipedia]
 
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Experiment with the sine and cosine in the unit circle]
+
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Experimente mit Sinus und Cosinus im Einheitskreis]
-
[http://www.math.psu.edu/dlittle/java/geometry/euclidean/toolbox.html Experiment with Euclidean geometry]
+
[http://www.math.psu.edu/dlittle/java/geometry/euclidean/toolbox.html experimentiere mit euklidischer Geometrie (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die trigonometrischen Funktionen Cosinus, Sinus und Tangens.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Die Begriffe Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse und rechtwinklige Dreiecke kennen.
  • Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens durch den Einheitskreis.
  • Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für die Winkel \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 und \displaystyle \pi/2 auswendig können.
  • Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens durch Drehungen des Einheitskreises für andere Winkel berechnen.
  • Die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
  • Trigonometrische Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Rechtwinklige Dreiecke

In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete \displaystyle a und der Ankathete \displaystyle b den Tangens des Winkels \displaystyle u, und wird \displaystyle \tan u geschrieben.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Der Wert des Bruches \displaystyle \frac{a}{b} verändert sich nicht, wenn a und b mit der selben Zahl multipliziert werden. Das heißt, die tatsächliche Länge der Seiten ist egal, es zählt nur das Verhältnis der Längen zueinander. Daraus können wir schließen, dass der Bruch auch unabhängig davon ist, ob die Längen in Metern, Zentimetern, Inchs etc gemessen werden. Verschiedene Winkel ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man mittels einer Tabelle oder mit Hilfe eines Taschenrechner erhalten.

Beispiel 1

Wie hoch ist der Flaggenmast?

[Image]

Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der unbekannten Seite \displaystyle x.

[Image]

Aus der Definition des Tangens erhalten wir

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}\,.

Nachdem \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84 erhalten wir

\displaystyle

x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84 = 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Beispiel 2 Bestimme die Länge der Seite \displaystyle x in der Figur.

[Image]

Wir nennen den Winkel links \displaystyle u und schreiben \displaystyle \tan u auf zwei verschiedene Weisen:

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Nachdem die beiden Gleichungen für \displaystyle \tan u gleich sind, erhalten wir

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}\,.

Wir erhalten \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einem Dreieck, die besondere Namen besitzen, nämlich \displaystyle \cos u = b/c ("Cosinus von \displaystyle u"), und \displaystyle \sin u = a/c (" Sinus von \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Genau wie für die Tangensfunktion sind die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion nur von dem Winkel \displaystyle u abhängig, also nicht von der Größe des Dreiecks.

Beispiel 3

[Image]

Im linken Dreieck

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Durch die Definition des Sinus erhalten wir

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

und \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616 gibt uns

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}

[Image]

Der Cosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Also haben wir

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Beispiel 4 Bestimme \displaystyle \sin u im Dreieck

[Image]

Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Daher ist \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.


B - Wichtige Winkel

Für die Winkel 30°, 45° und 60° ist es einfach, die Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

Beispiel 5

Wir betrachten ein Quadrat mit der Seite 1. Die Diagonale dieses Quadrates teilt einen rechten Winkel in zwei, also in zwei Winkeln von 45°.


[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge \displaystyle x der Diagonale,

\displaystyle

x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Jedes Dreieck hat die Diagonale als Hypotenuse, und daher bekommen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen für den Winkel \displaystyle 45^\circ.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Beispiel 6

Wir betrachten ein Dreieck, wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke, haben diese Dreiecke einen Winkel, der \displaystyle 30 \,^{\circ} ist.


[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Betrachten wir eines der kleineren Dreiecke, erhalten wir

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}

Zusammenfassung:

x sin(x) cos(x) tan(x)
0 0 1 0
\displaystyle \frac{\pi}{6} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
\displaystyle \frac{\pi}{4} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 1
\displaystyle \frac{\pi}{3} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \sqrt{3}
\displaystyle \pi 0 -1 0

Radiant-Grad Umwandlung: \displaystyle \pi=180°

also \displaystyle \frac{\pi}{x}[rad]=\frac{180°}{x}

Bsp:

\displaystyle \frac{\pi}{6}[rad]=\frac{180°}{6}=30°

C- Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln

Die trigonometrischen Funktionen für Winkel kleiner als 0° oder größer als 90° definiert man durch den Einheitskreis.

Die trigonometrische Funktionen \displaystyle \cos u und \displaystyle \sin u sind die x- und y-Werte des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel \displaystyle u zur x-Achse.

[Image]

Die Definition der Tangensfunktion ist

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

und daher ist der Steigungswinkel der Geraden u.


Beispiel 7

Bestimme in den Figuren die Cosinus- und Sinuswerte der Winkel:

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align*}

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align*}

Beispiel 8

Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?

  1. \displaystyle \cos 209^\circ

    Nachdem \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ ist, liegt der Punkt im dritten Quadranten, und daher ist der x-Wert des Punktes negativ und daher auch der Cosinuswert. Also ist \displaystyle \cos 209^\circ negativ .

[Image]

  1. \displaystyle \sin 133^\circ

    Nachdem \displaystyle 133^\circ = 90^\circ + 43^\circ, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, wo die y-Werte Positiv sind. Also ist \displaystyle \sin 133^\circ positiv.

[Image]

  1. \displaystyle \tan (-40^\circ)

    Indem wir den Winkel \displaystyle -40^\circ im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir, dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist \displaystyle \tan (-40^\circ) negativ.

[Image]

Beispiel 9

Berechne \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Wir schreiben \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3} wie

\displaystyle

\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Daher liegt \displaystyle 2\pi/3 im zweiten Quadranten und bildet den positiven Winkel \displaystyle \pi/6 mit der y-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir, dass die y-Koordinate von \displaystyle 2\pi/3 \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2 ist. Also erhalten wir

\displaystyle

\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

[Image]


D - Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen

In diesen Abschnitt haben wir den Einheitskreis verwendet, um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit dem Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.


[Image]

Der Graph der Sinusfunktion

[Image]

Der Graph der Cosinusfunktion

[Image]

Der Graph der Tangensfunktion


Hier beobachten wir einige interessante Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

  • Die Cosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode \displaystyle 2\pi. Dies bedeutet, dass \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x und \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. Im Einheitskreis entspricht das einer Drehung von \displaystyle 2\pi, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.
  • Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode \displaystyle \pi. Also ist \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Zwei Winkel mit der Differenz \displaystyle \pi haben dieselbe Gerade und daher dieselbe Steigung.
  • Außer eine Verschiebung von \displaystyle \pi/2, sind die Cosinus- und Sinusfunktionen identisch. Genauer ist \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2). Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.

Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei trigonometrischen Gleichungen, da sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.

Beispiel 10

Wie viele Lösungen hat die Gleichun \displaystyle \cos x = x^2 (wobei \displaystyle x der Winkel in Radianten ist)?

Wir zeichnen die Graphen von \displaystyle y=\cos x und \displaystyle y=x^2 und sehen, dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen x, wo die y-Werte der beiden Funktionen gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

[Image]



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Die Verwendung von Trigonoetrie vereinfacht viele geometrische Probleme.

Versichere Dich, dass Du die Definition der trigonometrischen Funktionen durch den Einheitskreis wirklich verstehst.


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über trigonometrische Funktionen in der Wikipedia

Mehr über den Einheitskreis in der Wikipedia


Nützliche Websites

Experimente mit Sinus und Cosinus im Einheitskreis

experimentiere mit euklidischer Geometrie (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.2_Trigonometrische_Funktionen“