Lösung 3.4:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The expressions <math>\ln\bigl(x^2+3x\bigr)</math> and <math>\ln\bigl(3x^2-2x \bigr)</math> are equal only if their arguments are equal, i.e.
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Die Ausdrücke <math>\ln\bigl(x^2+3x\bigr)</math> und <math>\ln\bigl(3x^2-2x \bigr)</math> sind gleich, wenn deren Argumente gleich sind, also wenn
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{{Displayed math||<math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}</math>}}
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However, we have to be careful! If we obtain a value for ''x'' which makes the arguments equal but negative or zero, then it will not correspond to a genuine solution because ln is not defined for negative arguments. At the end of the exercise, we must therefore check that <math>x^2 + 3x</math> and <math>3x^2 - 2x</math> really are positive for those solutions that we have calculated.
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Hier müssen wir aber vorsichtig sein: Falls beide Seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen, ob die Ausdrücke <math>x^2 + 3x</math> und <math>3x^2 - 2x</math> für unsere Lösungen ''x'' positiv sind.
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If we move all the terms over to one side in the equation for the arguments, we get the second-degree equation
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Wir schreiben alle Terme auf eine Seite und erhalten so eine quadratische Gleichung:
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{{Displayed math||<math>2x^2-5x=0</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2-5x=0</math>}}
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and we see that both terms contain ''x'', which we can take out as a factor,
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Nachdem alle Terme ''x'' enthalten, ziehen wir den Faktor ''x'' heraus
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{{Displayed math||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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From this factorized expression, we read off that the solutions are <math>x=0</math>
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Wir sehen direkt, dass die Lösungen <math>x=0</math>
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and <math>x=5/2\,</math>.
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und <math>x=5/2\,</math> sind.
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A final check shows that when <math>x=0</math> then <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0</math>, so <math>x=0</math> is not a solution. On the other hand, when <math>x=5/2</math> then <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0</math>, so <math>x=5/2</math> is a solution.
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Wir sehen, dass, wenn <math>x=0</math>, dann <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0</math>. Also ist <math>x=0</math> keine Lösung. <math>x=5/2</math> ergibt aber <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0</math>, also ist <math>x=5/2</math> eine Lösung.

Aktuelle Version

Die Ausdrücke \displaystyle \ln\bigl(x^2+3x\bigr) und \displaystyle \ln\bigl(3x^2-2x \bigr) sind gleich, wenn deren Argumente gleich sind, also wenn

\displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}

Hier müssen wir aber vorsichtig sein: Falls beide Seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen, ob die Ausdrücke \displaystyle x^2 + 3x und \displaystyle 3x^2 - 2x für unsere Lösungen x positiv sind.

Wir schreiben alle Terme auf eine Seite und erhalten so eine quadratische Gleichung:

\displaystyle 2x^2-5x=0

Nachdem alle Terme x enthalten, ziehen wir den Faktor x heraus

\displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{.}

Wir sehen direkt, dass die Lösungen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=5/2\, sind.

Wir sehen, dass, wenn \displaystyle x=0, dann \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0. Also ist \displaystyle x=0 keine Lösung. \displaystyle x=5/2 ergibt aber \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0, also ist \displaystyle x=5/2 eine Lösung.

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