Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	We solve an equation of this type by taking the natural logarithm of both sides	+	Wir logarithmieren beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus:
-	{{Displayed math||<math>\ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}
-	Then, using the log law <math>\ln a^{b} = b\cdot \ln a</math>, the unknown <math>x</math> can then be moved down as a factor on the left-hand side	+	Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz <math>\ln a^{b} = b\cdot \ln a</math> und erhalten dadurch
-	{{Displayed math||<math>x\cdot \ln e = \ln 13</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x\cdot \ln e = \ln 13\,.</math>}}
-	and then it is simple to solve for <math>x</math>,	+	Wir lösen die Gleichung für <math>x</math>:
-	{{Displayed math||<math>x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}</math>}}
-	Note: One thing that we haven't mentioned in this solution is that before we carry out the first step and take the logarithm of both sides of the equation, it is necessary to be certain that the left- and right-hand sides are positive (it is not possible to take the logarithm of a negative number). Because the equation is	+	Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen, dass beide Seiten positiv sind, bevor wir logarithmieren, weil der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist. Nachdem wir die Gleichung
-	{{Displayed math||<math>e^x=13</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>e^x=13</math>}}
-	we see directly that the right-hand side is positive. The left-hand side is also positive because “a positive number <math>e\approx 2\textrm{.}718</math> raised to a number” always gives a positive number.	+	haben, sehen wir jedoch direkt, dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von ''e'' positiv ist.

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Aktuelle Version

Wir logarithmieren beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus:

\displaystyle \ln e^x = \ln 13\,\textrm{.}

Danach verwenden wir das Logarithmusgesetz \displaystyle \ln a^{b} = b\cdot \ln a und erhalten dadurch

\displaystyle x\cdot \ln e = \ln 13\,.

Wir lösen die Gleichung für \displaystyle x:

\displaystyle x = \frac{\ln 13}{\ln e} = \frac{\ln 13}{1} = \ln 13\,\textrm{.}

Hinweis: Eigentlich müssen wir sicherstellen, dass beide Seiten positiv sind, bevor wir logarithmieren, weil der Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist. Nachdem wir die Gleichung

\displaystyle e^x=13

haben, sehen wir jedoch direkt, dass die rechte Seite positiv ist. Die linke Seite ist auch positiv, nachdem jede Potenz von e positiv ist.