Lösung 4.4:7c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we want to solve the equation
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Um die Gleichung <math>\cos 3x = \sin 4x</math> zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung
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<math>\text{cos 3}x=\text{sin 4}x</math>, we need an additional result which tells us for which values of
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<math>u</math>
+
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and
+
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<math>v</math>
+
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the equality
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<math>\text{cos }u=\text{sin }v</math>
+
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holds, but to get that we have to start with the equality
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<math>\cos u=\cos v</math>.
+
-
So, we start by looking at the equality
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v\,\textrm{.}</math>}}
 +
Wir wissen, dass es für ein fixes ''u'' zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich <math>v=u</math> und <math>v=-u</math>.
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<math>\cos u=\cos v</math>
+
<center>{{:4.4.7c - Solution - Two unit circles with angles u and -u, respectively}}</center>
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Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel <math>\pi/2</math> gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade <math>x=\cos u</math> wird dann <math>y=\cos u</math> und die Winkel ''u'' und -''u'' werden <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math>.
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We know that for fixed
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<center>{{:4.4.7c - Solution - Two unit circles with angles u + π/2 and -u + π/2, respectively}}</center>
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<math>u</math>
+
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there are two angles
+
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<math>v=u\text{ }</math>
+
-
and
+
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<math>v=-\text{u}</math>
+
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in the unit circle which have the cosine value
+
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<math>\cos u</math>, i.e. their
+
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<math>x</math>
+
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-coordinate is equal to
+
-
<math>\cos u</math>.
+
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Die Winkel <math>u+\pi/2</math> und <math>-u+\pi/2</math> haben daher dieselbe ''y''-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung
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[[Image:4_4_7_c1.gif|center]]
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u = \sin v</math>}}
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Imagine now that the whole unit circle is rotated anti-clockwise an angle
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für ein fixes ''u'' erfüllt, wenn <math>v = \pm u + \pi/2</math>, und allgemein, wenn
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<math>{\pi }/{2}\;</math>. The line
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<math>x=\cos u</math>
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will become the line
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<math>y=\cos u</math>
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and the angles
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<math>u</math>
+
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and
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<math>-u</math>
+
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are rotated to
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<math>u+{\pi }/{2}\;</math>
+
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and
+
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<math>-u+{\pi }/{2}\;</math>, respectively.
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,.</math>}}
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[[Image:4_4_7_c2.gif|center]]
+
In unseren Fall ist die Gleichung <math>\cos 3x = \sin 4x</math> erfüllt, wenn
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The angles
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{{Abgesetzte Formel||<math>4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
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<math>u+{\pi }/{2}\;</math>
+
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and
+
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<math>-u+{\pi }/{2}\;</math>
+
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therefore have their
+
-
<math>y</math>
+
-
-coordinate, and hence sine value, equal to
+
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<math>\cos u</math>. In other words, the equality
+
 +
Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen
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<math>\text{cos }u=\text{sin }v</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
 
+
x &= \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,,\\[5pt]
-
 
+
x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,,
-
holds for fixed
+
\end{align}\right.</math>}}
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<math>u</math>
+
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in the unit circle when
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<math>v=\pm u+{\pi }/{2}\;</math>, and more generally when
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>v=\pm u+\frac{\pi }{2}+2n\pi </math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
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an arbitrary integer).
+
-
 
+
-
For our equation
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<math>\text{cos 3}x=\text{sin 4}x</math>, this result means that
+
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<math>x\text{ }</math>
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must satisfy
+
-
 
+
-
 
+
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<math>4x=\pm 3x+\frac{\pi }{2}+2n\pi </math>
+
-
 
+
-
 
+
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This means that the solutions to the equation are
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{\pi }{2}+2n\pi \\
+
-
x=\frac{\pi }{14}+\frac{2}{7}\pi n \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
(
+
-
<math>n</math>
+
-
an arbitrary integer)
+

Aktuelle Version

Um die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x zu lösen, betrachten wir zuerst die allgemeine Gleichung

\displaystyle \cos u=\cos v\,\textrm{.}

Wir wissen, dass es für ein fixes u zwei Winkel auf dem Einheitskreis gibt, für welche die Gleichung erfüllt ist, nämlich \displaystyle v=u und \displaystyle v=-u.

[Image]

Jetzt drehen wir auf dem Einheitskreis den Winkel \displaystyle \pi/2 gegen den Uhrzeigersinn. Die Gerade \displaystyle x=\cos u wird dann \displaystyle y=\cos u und die Winkel u und -u werden \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2.

[Image]

Die Winkel \displaystyle u+\pi/2 und \displaystyle -u+\pi/2 haben daher dieselbe y-Koordinate und daher denselben Sinus. Also ist die Gleichung

\displaystyle \cos u = \sin v

für ein fixes u erfüllt, wenn \displaystyle v = \pm u + \pi/2, und allgemein, wenn

\displaystyle v = \pm u + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,.

In unseren Fall ist die Gleichung \displaystyle \cos 3x = \sin 4x erfüllt, wenn

\displaystyle 4x = \pm 3x + \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,\textrm{.}

Also erhalten wir die allgemeinen Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{2} + 2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{14} + \frac{2}{7}\pi n\,, \end{align}\right.

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