Lösung 3.1:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (09:55, 10. Jun. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
K
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
We can get rid of both square roots in the denominator if we multiply the top and bottom of the fraction by the conjugate expression
+
Wir erweitern den Bruch mit den konjugierten Nenner <math>\sqrt{17}+\sqrt{13}</math> und erhalten mit der binomischen Formel
-
<math>\left( a-b \right)\left( a+b \right)=a^{2}-b^{2}</math>, and use the conjugate rule
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)(a+b) = a^2-b^2</math>}}
-
with
+
mit <math>a=\sqrt{17}</math> und <math>b=\sqrt{13}</math>. Beide Wurzeln verschwinden, indem wir sie quadrieren. Wir erhalten
-
<math>a=\sqrt{17}</math>
+
-
and
+
-
<math>b=\sqrt{13}</math>. Both roots are squared away and we get
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}
 +
&= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{(\sqrt{17})^{2}-(\sqrt{13})^{2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{17-13}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden, weil 13 und 17 Primzahlen sind.
-
& \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\centerdot \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}} \\
+
-
& =\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\left( \sqrt{17} \right)^{2}-\left( \sqrt{13} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{17-13}=\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}. \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This expression cannot be simplified any further because neither
+
-
<math>\text{17}</math>
+
-
nor
+
-
<math>\text{13}</math>
+
-
contain any squares as factors.
+

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den konjugierten Nenner \displaystyle \sqrt{17}+\sqrt{13} und erhalten mit der binomischen Formel

\displaystyle (a-b)(a+b) = a^2-b^2

mit \displaystyle a=\sqrt{17} und \displaystyle b=\sqrt{13}. Beide Wurzeln verschwinden, indem wir sie quadrieren. Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}} &= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{(\sqrt{17})^{2}-(\sqrt{13})^{2}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{17-13}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}\,\textrm{.} \end{align}

Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden, weil 13 und 17 Primzahlen sind.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:5d“