Lösung 2.2:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
We can simplify the left-hand side in the equation by expanding the squares using the squaring rule:
+
Mit der binomischen Formel können wir die linke Seite der Gleichung vereinfachen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(x+3)^{2}-(x-5)^{2}
 +
&= (x^{2}+2\cdot 3x+3^{2})-(x^{2}-2\cdot 5x+5^{2})\\[5pt]
 +
&= x^{2}+6x+9-x^{2}+10x-25\\[5pt]
 +
&=16x-16\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Also ist die Gleichung
-
& \left( x+3 \right)^{2}-\left( x-5 \right)^{2}=\left( x^{2}+2\centerdot 3x+3^{2} \right)-\left( x^{2}-2\centerdot 5x+5^{2} \right) \\
+
-
& =x^{2}+6x+9-x^{2}+10x-25=16x-16 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>16x-16=6x+4\,\textrm{.}</math>}}
-
Thus, the equation is
+
Jetzt subtrahieren wir 6''x'' von beiden Seiten, und addieren 16 zu beiden Seiten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
16x-6x&=4+16\,,\\[5pt]
 +
10x&=20\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>16x-16=6x+4</math>
+
Wir dividieren beide Seiten mit 10 und erhalten so die Lösung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{20}{10}=2\,\textrm{.}</math>}}
-
Now, move all "
+
Zum Schluss kontrollieren wir die Lösung <math>x=2</math>
-
<math>x</math>
+
-
"s to the left-hand side (subtract
+
-
<math>6x</math>
+
-
from both sides) and the constants to the right-hand side (add
+
-
<math>16</math>
+
-
to both sides)
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>\begin{align}
+
\text{Linke Seite} &= (2+3)^{2}-(2-5)^{2} = 5^{2}-(-3)^{2} = 25-9 = 16,\\[5pt]
-
& 16x-6x=4+16 \\
+
\text{Rechte Seite} &= 6\cdot 2+4 = 12+4 = 16\,\textrm{.}
-
& 10x=20 \\
+
\end{align}</math>}}
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Divide both sides by
+
-
<math>10</math>
+
-
to get the answer
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\frac{20}{10}=2</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Finally, we check that
+
-
<math>x=2</math>
+
-
satisfies the equation in the exercise:
+
-
 
+
-
LHS =
+
-
<math>\left( 2+3 \right)^{2}-\left( 2-5 \right)^{2}=5^{2}-\left( -3 \right)^{2}=25-9=16</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
RHS =
+
-
<math>6\centerdot 2+4=12+4=16</math>
+

Aktuelle Version

Mit der binomischen Formel können wir die linke Seite der Gleichung vereinfachen

\displaystyle \begin{align}

(x+3)^{2}-(x-5)^{2} &= (x^{2}+2\cdot 3x+3^{2})-(x^{2}-2\cdot 5x+5^{2})\\[5pt] &= x^{2}+6x+9-x^{2}+10x-25\\[5pt] &=16x-16\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die Gleichung

\displaystyle 16x-16=6x+4\,\textrm{.}

Jetzt subtrahieren wir 6x von beiden Seiten, und addieren 16 zu beiden Seiten

\displaystyle \begin{align}

16x-6x&=4+16\,,\\[5pt] 10x&=20\,\textrm{.} \end{align}

Wir dividieren beide Seiten mit 10 und erhalten so die Lösung

\displaystyle x=\frac{20}{10}=2\,\textrm{.}

Zum Schluss kontrollieren wir die Lösung \displaystyle x=2

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= (2+3)^{2}-(2-5)^{2} = 5^{2}-(-3)^{2} = 25-9 = 16,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= 6\cdot 2+4 = 12+4 = 16\,\textrm{.} \end{align}

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