Lösung 2.1:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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In the same way that we calculated fractions, we can subtract the terms' numerators if we first
+
Wir können nur dann die Brüche subtrahieren, wenn sie beide denselben Nenner haben. Damit die Brüche denselben Nenner bekommen, erweitern wir beide Brüche. Nachdem die Nenner <math>x-x^{2}=x(1-x)</math> und <math>x</math> sind, ist der kleinste gemeinsamer Nenner <math>x(1-x)</math>,
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expand the fractions so that they have the same denominator. Because the denominators are
+
-
<math>x-x^{2}=x\left( 1-x \right)</math>
+
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and
+
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<math>x</math>, the lowest common denominator is
+
-
<math>x\left( 1-x \right)</math>:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x\vphantom{x^2}}
 +
&= \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x\vphantom{x^2}}\cdot \frac{1-x}{1-x\vphantom{x^2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1-x}{x-x^{2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{1-(1-x)}{x-x^{2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{1-1+x}{x-x^{2}}\\[5pt]
 +
&= \frac{x}{x-x^{2}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Dieser Bruch kann gekürzt werden, indem wir den Zähler und den Nenner jeweils mit ''x'' dividieren
-
& \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x}\centerdot \frac{1-x}{1-x}=\frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1-x}{x-x^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
& =\frac{1-\left( 1-x \right)}{x-x^{2}}=\frac{1-1+x}{x-x^{2}}=\frac{x}{x-x^{2}} \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x}{x-x^{2}} = \frac{x}{x(1-x)} = \frac{1}{1-x}\,\textrm{.}</math>}}
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This fraction can be simplified by eliminating the factor
+
-
<math>x</math>
+
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from the numerator and denominator.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{x}{x-x^{2}}=\frac{x}{x\left( 1-x \right)}=\frac{1}{1-x}. \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir können nur dann die Brüche subtrahieren, wenn sie beide denselben Nenner haben. Damit die Brüche denselben Nenner bekommen, erweitern wir beide Brüche. Nachdem die Nenner \displaystyle x-x^{2}=x(1-x) und \displaystyle x sind, ist der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle x(1-x),

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x\vphantom{x^2}} &= \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x\vphantom{x^2}}\cdot \frac{1-x}{1-x\vphantom{x^2}}\\[5pt] &= \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1-x}{x-x^{2}}\\[5pt] &= \frac{1-(1-x)}{x-x^{2}}\\[5pt] &= \frac{1-1+x}{x-x^{2}}\\[5pt] &= \frac{x}{x-x^{2}}\,\textrm{.} \end{align}

Dieser Bruch kann gekürzt werden, indem wir den Zähler und den Nenner jeweils mit x dividieren

\displaystyle \frac{x}{x-x^{2}} = \frac{x}{x(1-x)} = \frac{1}{1-x}\,\textrm{.}
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