Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir können nur dann die Brüche subtrahieren, wenn sie beide denselben Nenner haben. Damit die Brüche denselben Nenner bekommen, erweitern wir beide Brüche. Nachdem die Nenner \displaystyle x-x^{2}=x(1-x) und \displaystyle x sind, ist der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle x(1-x),

\displaystyle \begin{align} \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x\vphantom{x^2}} &= \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1}{x\vphantom{x^2}}\cdot \frac{1-x}{1-x\vphantom{x^2}}\\[5pt] &= \frac{1}{x-x^{2}}-\frac{1-x}{x-x^{2}}\\[5pt] &= \frac{1-(1-x)}{x-x^{2}}\\[5pt] &= \frac{1-1+x}{x-x^{2}}\\[5pt] &= \frac{x}{x-x^{2}}\,\textrm{.} \end{align}

Dieser Bruch kann gekürzt werden, indem wir den Zähler und den Nenner jeweils mit x dividieren

\displaystyle \frac{x}{x-x^{2}} = \frac{x}{x(1-x)} = \frac{1}{1-x}\,\textrm{.}