Lösung 2.1:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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In this fraction, there is the possibility that the numerator and denominator contain common factors which can be eliminated and we therefore try to factorize all expressions to simplest possible form.
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Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.
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The factor
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Der Faktor <math>y^{2}+4y+4</math> kann wie <math>y^{2}+2\cdot 2y+2^{2}</math> geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können
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<math>y^{2}+4y+4</math>
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can be rewritten as
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<math>y^{2}+2\centerdot 2y+2^{2}</math>, which opens the way for using the squaring rule
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{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}</math>}}
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<math>y^{2}+4y+4=y^{2}+2\centerdot 2y+2^{2}=\left( y+2 \right)^{2}</math>
+
Der Faktor <math>2y-4</math> kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von <math>2</math>, da <math>2y-4=2\left( y-2 \right)\,</math>.
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The factor
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<math>y^{2}-4</math> kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:
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<math>2y-4</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}</math>}}
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is already a first-order expression and can therefore not be divided up any further,
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other than by taking out a factor
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<math>2</math>
+
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i.e.
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<math>2y-4=2\left( y-2 \right)</math>
+
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.
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 +
<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, müsste es ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>, wobei <math> a + b = 0 </math> und <math> a \cdot b = 4</math> gelten muss. Aus <math>a+b=0 </math> folgt <math>a=-b</math>. Daraus ergibt sich also, dass ''a'' und ''b'' verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann <math>a \cdot b</math> nicht 4 sein, so dass es keine ''a'' und ''b'' gibt für die die Gleichung gilt.
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<math>y^{2}+4</math>
 
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y2-4 can be factorized using the conjugate rule to give
 
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Daher ist
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<math>y^{2}-4=\left( y+2 \right)\left( y-2 \right)</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}
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-
 
+
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On the other hand,
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<math>y^{2}+4</math>
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cannot be written as a product of first-order factors. If it were possible to
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write
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<math>y^{2}+4=\left( y-a \right)\left( y-b \right)</math>, where
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<math>a</math>
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and
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<math>b</math>
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are some numbers, then
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<math>y=a</math>
+
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and
+
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<math>y=b</math>
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would be zeros of
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<math>y^{2}+4</math>, but because
+
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<math>y^{2}+4</math>
+
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is the sum of a square,
+
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<math>y^{2}</math>, which cannot have a negative value and the number
+
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<math>4</math>,
+
-
<math>y^{2}+4</math>
+
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is always greater than or equal
+
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<math>4</math>
+
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regardless of how
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<math>y</math>
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is chosen. Hence,
+
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<math>y^{2}+4</math>
+
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cannot be divided up into first-order factors.
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Thus,
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-
 
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-
 
+
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<math>\frac{\left( y^{2}+4y+4 \right)\left( 2y-4 \right)}{\left( y^{2}+4 \right)\left( y^{2}-4 \right)}=\frac{\left( y+2 \right)^{2}\centerdot 2\left( y-2 \right)}{\left( y^{2}+4 \right)\left( y+2 \right)\left( y-2 \right)}=\frac{2\left( y+2 \right)}{\left( y^{2}+4 \right)}</math>
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Aktuelle Version

Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.

Der Faktor \displaystyle y^{2}+4y+4 kann wie \displaystyle y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können

\displaystyle y^{2}+4y+4 = y^{2}+2\cdot 2y+2^{2} = (y+2)^{2}\textrm{.}

Der Faktor \displaystyle 2y-4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von \displaystyle 2, da \displaystyle 2y-4=2\left( y-2 \right)\,.


\displaystyle y^{2}-4 kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:

\displaystyle y^{2}-4 = (y+2)(y-2)\,\textrm{.}

\displaystyle y^{2}+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, müsste es a und b geben für die gilt: \displaystyle (y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b, wobei \displaystyle a + b = 0 und \displaystyle a \cdot b = 4 gelten muss. Aus \displaystyle a+b=0 folgt \displaystyle a=-b. Daraus ergibt sich also, dass a und b verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann \displaystyle a \cdot b nicht 4 sein, so dass es keine a und b gibt für die die Gleichung gilt.


Daher ist

\displaystyle \frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}
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