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Lösung 2.1:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich,
<math>y^{2}+4</math> hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich,
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Wäre dies möglich müsste es ein ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>
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Wäre dies möglich müsste es ''a'' und ''b'' geben für die gilt: <math>(y+a)\cdot(y+b) = y^{2} + (a+b)\cdot y + a\cdot b</math>, wobei <math> a + b = 0 </math> und <math> a \cdot b = 4</math> gelten muss. Aus <math>a+b=0M/math> folgt <math>a=-b</math>. Daraus ergibt sich also, dass ''a'' und ''b'' verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann <math>a \cdot b</math> nicht 4 sein, so dass es keine ''a'' und ''b'' gibt für die die Gleichung gilt.
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würde das bedeuten dass <math>y^{2}+4 = (y-a)(y-b)</math>, für irgendwelche Zahlen ''a'' und ''b'', wobei <math>y=a</math> und
 
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<math>y=b</math> die Wurzeln von <math>y^{2}+4</math> sind. Nachdem
 
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<math>y^{2}+4</math> aber eine Summe von Quadraten ist, und daher positiv ist, ist <math>y^{2}+4</math> immer gleich oder grösser als <math>4</math>, unabhängig von <math>y</math>. Daher kann <math>y^{2}+4</math> nicht weiter in Faktoren zerlegt werden.
 
Daher ist
Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(y^{2}+4y+4)(2y-4)}{(y^{2}+4)(y^{2}-4)} = \frac{(y+2)^{2}\cdot 2(y-2)}{(y^{2}+4)(y+2)(y-2)} = \frac{2(y+2)}{(y^{2}+4)}\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 12:08, 5. Aug. 2009

Wir zerlegen zuerst jeweils Zähler und Nenner in ihre Faktoren.

Der Faktor y2+4y+4 kann wie y2+22y+22 geschrieben werden, wobei wir die binomische Formel verwenden können

y2+4y+4=y2+22y+22=(y+2)2.

Der Faktor 2y−4 kann nicht weiter zerlegt werden, mit Ausnahme von 2, da 2y−4=2y−2 .


y2−4 kann mit der binomischen Formel zerlegt werden:

y2−4=(y+2)(y−2).

y2+4 hingegen kann nicht weiter zerlegt werden. Wäre dies möglich, Wäre dies möglich müsste es a und b geben für die gilt: (y+a)(y+b)=y2+(a+b)y+ab, wobei a+b=0 und ab=4 gelten muss. Aus a+b=0Mmathfolgta=−b. Daraus ergibt sich also, dass a und b verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das Produkt aus zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen kann allerdings nie eine positive Zahl ergeben. Also kann ab nicht 4 sein, so dass es keine a und b gibt für die die Gleichung gilt.


Daher ist

(y2+4)(y2−4)(y2+4y+4)(2y−4)=(y+2)22(y−2)(y2+4)(y+2)(y−2)=(y2+4)2(y+2).
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