Lösung 4.3:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir könnten <math>\tan\frac{u}{2}</math> als Bruch mit Sinus und Kosinus schreiben und dann den Ausdruck
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erweitern. Dies ergibt aber Wurzelausdrücke, die recht komplizierte Rechnungen erfordern. Stattdessen betrachten wir die rechte Seite der Gleichung und erweitern diese.
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Wir schreiben <math>u</math> wie <math>2\cdot(u/2)</math> und verwenden die Doppelwinkelfunktion,
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Die 1 im Nenner können wir als <math>\cos^2(u/2) + \sin^2(u/2)</math> schreiben, und so erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{2\cos\dfrac{u}{2}\cdot\sin\dfrac{u}{2}}{1+\cos^2\dfrac{u}{2}-\sin^2\dfrac{u}{2}}
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&= \frac{2\cos\dfrac{u}{2}\sin\dfrac{u}{2}}{\cos^2\dfrac{u}{2} + \sin^2\dfrac{u}{2} + \cos^2\dfrac{u}{2} - \sin^2\dfrac{u}{2}}\\[8pt]
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&= \frac{2\cos\dfrac{u}{2}\sin\dfrac{u}{2}}{2\cos^2\dfrac{u}{2}}\\[5pt]
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&= \frac{\sin\dfrac{u}{2}}{\cos\dfrac{u}{2}}\\[8pt]
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&= \tan\frac{u}{2}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir könnten \displaystyle \tan\frac{u}{2} als Bruch mit Sinus und Kosinus schreiben und dann den Ausdruck

\displaystyle \tan\frac{u}{2} = \frac{\sin\dfrac{u}{2}}{\cos\dfrac{u}{2}} = \ldots

erweitern. Dies ergibt aber Wurzelausdrücke, die recht komplizierte Rechnungen erfordern. Stattdessen betrachten wir die rechte Seite der Gleichung und erweitern diese.

Wir schreiben \displaystyle u wie \displaystyle 2\cdot(u/2) und verwenden die Doppelwinkelfunktion,

\displaystyle \frac{\sin u}{1+\cos u} = \frac{\sin \Bigl(2\cdot\dfrac{u}{2}\Bigr)}{1+\cos\Bigl(2\cdot\dfrac{u}{2}\Bigr)} = \frac{2\cos\dfrac{u}{2}\cdot \sin\dfrac{u}{2}}{1+\cos^2\cfrac{u}{2}-\sin^2\cfrac{u}{2}}\,\textrm{.}

Die 1 im Nenner können wir als \displaystyle \cos^2(u/2) + \sin^2(u/2) schreiben, und so erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\frac{2\cos\dfrac{u}{2}\cdot\sin\dfrac{u}{2}}{1+\cos^2\dfrac{u}{2}-\sin^2\dfrac{u}{2}} &= \frac{2\cos\dfrac{u}{2}\sin\dfrac{u}{2}}{\cos^2\dfrac{u}{2} + \sin^2\dfrac{u}{2} + \cos^2\dfrac{u}{2} - \sin^2\dfrac{u}{2}}\\[8pt] &= \frac{2\cos\dfrac{u}{2}\sin\dfrac{u}{2}}{2\cos^2\dfrac{u}{2}}\\[5pt] &= \frac{\sin\dfrac{u}{2}}{\cos\dfrac{u}{2}}\\[8pt] &= \tan\frac{u}{2}\,\textrm{.} \end{align}

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