Lösung 4.3:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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Using the addition formula, we rewrite
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Wir verwenden das Additionstheorem und schreiben
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<math>\text{sin}\left( x+y \right)</math>
+
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as
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \sin x\cdot\cos y + \cos x\cdot\sin y\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\text{sin}\left( x+y \right)=\sin x\centerdot \cos y+\cos x\centerdot \sin y</math>
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Genau wie in der vorherigen Übung verwenden wir den Satz des Pythagoras, um <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> durch <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> zu schreiben:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\sin x &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!x} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{4}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}\,,\\[5pt]
 +
\sin y &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!y} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{9}{25}} = \pm\frac{4}{5}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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If we use the same solution procedure as in exercise a, we use the Pythagorean identity
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Nachdem ''x'' und ''y'' im ersten Quadrant liegen, sind <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> beide positiv, also ist
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<math>\cos ^{2}v+\sin ^{2}v=1</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin x = \frac{\sqrt{21}}{5}\qquad\text{und}\qquad\sin y = \frac{4}{5}\,\textrm{.}</math>}}
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to express the unknown factors
+
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<math>x\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>y\text{ }</math>
+
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in terms of
+
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<math>\text{cos }x\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>\text{cos }y</math>,
+
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<math>\begin{align}
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Daher erhalten wir
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& \sin x=\pm \sqrt{1-\text{cos}^{2}x}=\pm \sqrt{1-\left( \frac{2}{5} \right)^{2}}=\pm \sqrt{1-\frac{4}{25}}=\pm \frac{\sqrt{21}}{5}, \\
+
-
& \sin y=\pm \sqrt{1-\text{cos}^{2}y}=\pm \sqrt{1-\left( \frac{3}{5} \right)^{2}}=\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\pm \frac{4}{5} \\
+
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\end{align}</math>
+
-
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{21}+8}{25}\,\textrm{.}</math>}}
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The angles
+
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<math>x\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>y\text{ }</math>
+
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lie in the first quadrant and both
+
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<math>\text{sin }x\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>\text{sin }y\text{ }</math>
+
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are therefore positive, i.e.
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<math>\sin x=\frac{\sqrt{21}}{5}</math>
+
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and
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<math>\sin y=\frac{4}{5}</math>
+
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Thus, the answer is
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-
 
+
-
 
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<math>\text{sin}\left( x+y \right)=\frac{\sqrt{21}}{5}\centerdot \frac{3}{5}+\frac{2}{5}\centerdot \frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{21}+8}{25}</math>
+

Aktuelle Version

Wir verwenden das Additionstheorem und schreiben

\displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot\cos y + \cos x\cdot\sin y\,\textrm{.}

Genau wie in der vorherigen Übung verwenden wir den Satz des Pythagoras, um \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y durch \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y zu schreiben:

\displaystyle \begin{align}

\sin x &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!x} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{4}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}\,,\\[5pt] \sin y &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!y} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{9}{25}} = \pm\frac{4}{5}\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem x und y im ersten Quadrant liegen, sind \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y beide positiv, also ist

\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{21}}{5}\qquad\text{und}\qquad\sin y = \frac{4}{5}\,\textrm{.}

Daher erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{21}+8}{25}\,\textrm{.}
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