Lösung 4.3:7b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | {{ | + | Wir verwenden das Additionstheorem und schreiben |
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| + | Genau wie in der vorherigen Übung verwenden wir den Satz des Pythagoras, um <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> durch <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> zu schreiben: | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \sin x &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!x} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{4}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}\,,\\[5pt] | ||
| + | \sin y &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!y} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{9}{25}} = \pm\frac{4}{5}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
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| + | Nachdem ''x'' und ''y'' im ersten Quadrant liegen, sind <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> beide positiv, also ist | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\sin x = \frac{\sqrt{21}}{5}\qquad\text{und}\qquad\sin y = \frac{4}{5}\,\textrm{.}</math>}} | ||
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| + | Daher erhalten wir | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{21}+8}{25}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir verwenden das Additionstheorem und schreiben
| \displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot\cos y + \cos x\cdot\sin y\,\textrm{.} |
Genau wie in der vorherigen Übung verwenden wir den Satz des Pythagoras, um \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y durch \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y zu schreiben:
| \displaystyle \begin{align}
\sin x &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!x} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{4}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}\,,\\[5pt] \sin y &= \pm\sqrt{1-\cos^2\!y} = \pm\sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \pm\sqrt{1-\tfrac{9}{25}} = \pm\frac{4}{5}\,\textrm{.} \end{align} |
Nachdem x und y im ersten Quadrant liegen, sind \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y beide positiv, also ist
| \displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{21}}{5}\qquad\text{und}\qquad\sin y = \frac{4}{5}\,\textrm{.} |
Daher erhalten wir
| \displaystyle \sin (x+y) = \frac{\sqrt{21}}{5}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{3\sqrt{21}+8}{25}\,\textrm{.} |
