Lösung 3.1:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We can get rid of both square roots in the denominator if we multiply the top and bottom of the fraction by the conjugate expression <math>\sqrt{17}+\sqrt{13}</math>, and use the difference of two squares
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Wir erweitern den Bruch mit den konjugierten Nenner <math>\sqrt{17}+\sqrt{13}</math> und erhalten mit der binomischen Formel
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{{Displayed math||<math>(a-b)(a+b) = a^2-b^2</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)(a+b) = a^2-b^2</math>}}
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with <math>a=\sqrt{17}</math> and <math>b=\sqrt{13}</math>. Both roots are squared away and we get
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mit <math>a=\sqrt{17}</math> und <math>b=\sqrt{13}</math>. Beide Wurzeln verschwinden, indem wir sie quadrieren. Wir erhalten
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}
\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}
&= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt]
&= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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This expression cannot be simplified any further because neither 17 nor 13 contain any squares as factors.
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Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden, weil 13 und 17 Primzahlen sind.

Aktuelle Version

Wir erweitern den Bruch mit den konjugierten Nenner \displaystyle \sqrt{17}+\sqrt{13} und erhalten mit der binomischen Formel

\displaystyle (a-b)(a+b) = a^2-b^2

mit \displaystyle a=\sqrt{17} und \displaystyle b=\sqrt{13}. Beide Wurzeln verschwinden, indem wir sie quadrieren. Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}} &= \frac{1}{\sqrt{17}-\sqrt{13}}\cdot\frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{\sqrt{17}+\sqrt{13}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{(\sqrt{17})^{2}-(\sqrt{13})^{2}}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{17-13}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{17}+\sqrt{13}}{4}\,\textrm{.} \end{align}

Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden, weil 13 und 17 Primzahlen sind.

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