3.1 Wurzeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Der Ausdruck <math>x^2 = 4</math> hat wie bekannt zwei Wurzeln, <math>x = 2</math> und <math>x = -2</math>, | + | Der Ausdruck <math>x^2 = 4</math> hat wie bekannt zwei Wurzeln, <math>x = 2</math> und <math>x = -2</math>, da <math>2\cdot 2 = 4</math> und <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Daher scheint es natürlich, dass <math>\sqrt{4}</math> entweder <math>-2</math> oder <math>2</math>, also <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>. Dies ist aber nicht der Fall, sondern <math>\sqrt{4}</math> bezeichnet nur die positive Wurzel <math>2</math>. |
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| - | Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der | + | Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige. |
Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel <math>(a+b)(a-b) = a^2 – b^2</math> benutzen, um den Bruch zu vereinfachen. Indem man den Bruch mit dem konjugierten Nenner erweitert, erhält man immer einen Bruch ohne Wurzeln im Nenner. | Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel <math>(a+b)(a-b) = a^2 – b^2</math> benutzen, um den Bruch zu vereinfachen. Indem man den Bruch mit dem konjugierten Nenner erweitert, erhält man immer einen Bruch ohne Wurzeln im Nenner. | ||
Version vom 14:14, 9. Jun. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Quadratische und allgemeine Wurzeln
- Wurzelausdrücke
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Die Quadratwurzel von kleinen ganzen Zahlen berechnen.
- Wissen, dass die Quadratwurzel nicht für negative Zahlen definiert ist.
- Wissen, dass die Quadratwurzel immer nicht-negativ ist.
- Wurzelausdrücke vereinfachen.
- Wissen, welche Vereinfachungen von Wurzeln gültig sind.
- Wissen, wann die n-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.
Quadratwurzeln
Das schon bekannte Symbol \displaystyle \sqrt{a} bezeichnet die Quadratwurzel einer positiven Zahl \displaystyle a, mit anderen Worten diejenige, die wir bekommen, wenn wir a mit a multiplizieren. Es gibt aber eine genauere Definition der Quadratwurzel.
Der Ausdruck \displaystyle x^2 = 4 hat wie bekannt zwei Wurzeln, \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2, da \displaystyle 2\cdot 2 = 4 und \displaystyle (-2)\cdot(-2) = 4. Daher scheint es natürlich, dass \displaystyle \sqrt{4} entweder \displaystyle -2 oder \displaystyle 2, also \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2. Dies ist aber nicht der Fall, sondern \displaystyle \sqrt{4} bezeichnet nur die positive Wurzel \displaystyle 2.
Die Quadratwurzel \displaystyle \sqrt{a} ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert \displaystyle a ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung \displaystyle x^2 = a.
Die Quadratwurzel von \displaystyle a kann auch als \displaystyle a^{1/2} geschrieben werden.
Deshalb ist es falsch, \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, zu schreiben, aber richtig, dass die Gleichung \displaystyle x^2 = 4 die Wurzeln (Lösungen) \displaystyle x = \pm 2 hat.
Beispiel 1
- \displaystyle \sqrt{0}=0 \quad nachdem \displaystyle 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 und \displaystyle 0 nicht negativ ist.
- \displaystyle \sqrt{100}=10 \quad nachdem \displaystyle 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 und \displaystyle 10 eine positive Zahl ist.
- \displaystyle \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad nachdem \displaystyle 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 und \displaystyle 0{,}5 eine positive Zahl ist.
- \displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad nachdem \displaystyle 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 und \displaystyle 1{,}4142 positiv ist.
- Die Gleichung \displaystyle x^2=2 hat die Wurzeln (Lösungen) \displaystyle x=\sqrt{2} \approx 1{,}414 und \displaystyle x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414.
- \displaystyle \sqrt{-4}\quad ist nicht definiert, nachdem es keine reelle Zahl \displaystyle x gibt, die, die Gleichung \displaystyle x^2=-4 erfüllt.
- \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad nachdem \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7.
Nachdem die Quadratwurzel von a auch als \displaystyle \sqrt{a} = a^{1/2} geschrieben werden kann, gelten die Rechenregeln für Potenzen auch für Wurzeln. Zum Beispiel haben wir
\displaystyle \sqrt{9\cdot 4}
= (9\cdot 4)^{1/2}
= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}
|
Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen \displaystyle a, b \ge 0: gelten.
\displaystyle \begin{align*}
\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
\end{align*}
|
(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)
Beispiel 2
- \displaystyle \sqrt{64\cdot 81} = \sqrt{64}\cdot \sqrt{81} = 8\cdot 9 = 72
- \displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}
- \displaystyle \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
- \displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
- \displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
Wir müssen beachten, dass die Rechenregeln nur gelten, wenn \displaystyle a \ge 0 und \displaystyle b \ge 0. Wenn \displaystyle a und \displaystyle b beide negativ sind, sind die Wurzeln \displaystyle \sqrt{a} und \displaystyle \sqrt{b} nicht definiert (zumindest nicht als reelle Zahlen). Deshalb kann man zum Beispiel nicht
| \displaystyle -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1 |
schreiben. Und zwar deshalb, weil \displaystyle \sqrt{-1} keine reelle Zahl ist, und die Rechenregeln für Wurzeln daher nicht definiert sind.
Allgemeine Wurzeln
Die Kubikwurzel von \displaystyle a wird durch die Zahl definiert, die mit sich selbst drei Mal multipliziert \displaystyle a ergibt, und wird \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{a} geschrieben.
Beispiel 3
- \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad nachdem \displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2=8.
- \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad nachdem \displaystyle 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027.
- \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad nachdem \displaystyle (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8.
Zum Unterschied von Quadratwurzeln sind Kubikwurzeln auch für negative Zahlen definiert.
Für jede positive Zahl \displaystyle n kann man die \displaystyle n-te Wurzel definieren:
- Wenn \displaystyle n gerade und \displaystyle a\ge0 ist, ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} die nicht negative Zahl, die hoch \displaystyle n \displaystyle a ergibt,
- Wenn \displaystyle n ungerade ist, ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} die Zahl, die hoch \displaystyle n \displaystyle a ergibt,
Die Wurzel \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} kann auch \displaystyle a^{1/n} geschrieben werden.
Beispiel 4
- \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad nachdem \displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.
- \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad nachdem \displaystyle (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243.
- \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad ist nicht definiert, nachdem \displaystyle 6 gerade ist, und \displaystyle -17 negativ ist.
Für die \displaystyle n-te Wurzel gelten dieselben Rechenregeln wir für die Quadratwurzel, falls \displaystyle a, \, b \ge 0. Falls \displaystyle n ungerade ist, gelten die Regeln auch für negative \displaystyle a und \displaystyle b, also für alle reellen Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b.
\displaystyle \begin{align*}
\sqrt[\scriptstyle n]{ab}
&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
\end{align*}
|
Vereinfachungen von Wurzelausdrücken
Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.
\displaystyle \sqrt{8}
= \sqrt{4\cdot2}
= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
= 2\sqrt{2}
|
und ähnlich für die Division:
\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}
= \frac{2 \sqrt{2}}{2}
= \sqrt{2}\mbox{.}
|
Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.
\displaystyle \sqrt{8} + \sqrt{2}
= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
= (2+1)\sqrt{2}
= 3\sqrt{2}\mbox{.}
|
Beispiel 5
- \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}
- \displaystyle \frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
- \displaystyle \sqrt{45} + \sqrt{20}
= \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5}
= \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5}
= 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\vphantom{\bigl(}
\displaystyle \phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}\vphantom{\bigl(}}{} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - \displaystyle \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}
= \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16}
+ \sqrt{3 \cdot 9}
\displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}
\displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
\displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}} - \displaystyle \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}}{ \sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
- \displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1 Wo wir die binomische Formel \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 mit \displaystyle a=\sqrt{3} und \displaystyle b=\sqrt{2} benutzt haben.
Rationale Wurzelausdrücke
Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit \displaystyle \sqrt{2} erweitern,
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}
= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
= \frac{\sqrt{2}}{2}
|
Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.
Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 benutzen, um den Bruch zu vereinfachen. Indem man den Bruch mit dem konjugierten Nenner erweitert, erhält man immer einen Bruch ohne Wurzeln im Nenner.
\displaystyle \begin{align*}
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
\end{align*}
|
Beispiel 6
- \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
- \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
- \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
- \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}
= \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,)
(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}
= \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2
-(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3} \vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}
Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
Bedenken Sie folgendes:
Die Quadratwurzel ist immer nicht-negativ, das heißt, positiv oder null.
Die Rechenregeln für Wurzeln sind nur Spezialfälle der Rechenregeln für Potenzen.
Zum Beispiel: \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}.
Reviews
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
Learn more about square roots in the English Wikipedia
How do we know that the root of 2 is not a fraction?
Nützliche Websites
How to find the root of a number, without the help of calculators?
