4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 15:26, 3. Apr. 2009

Rechtwinklige Dreiecke

In einen rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete \displaystyle a und der Ankathete \displaystyle b den Tangens des Winkels \displaystyle u, und wird \displaystyle \tan u geschrieben.

Der Wert des Bruches \displaystyle \frac{a}{b} ist unabhängig von der Größe des Dreiecks, sondern ist nur von den Winkel \displaystyle u abhängig. Verschiedene Winkeln ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man durch eine Tabelle oder durch einen Taschenrechner erhalten.

 x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84
   = 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einen Dreieck, die besondere nahmen besitzen, nämlich \displaystyle \cos u = b/c ("Kosinus von \displaystyle u"), und \displaystyle \sin u = a/c (" Sinus von \displaystyle u").

Genau wie für den Tangensfunktion, sind die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion nur von den Winkel \displaystyle u abhängig, und also nicht von der Größe des Dreiecks.

Wichtige Winkeln

Für die Winkeln 30°, 45° und 60° ist es einfach die Werten von den trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

 x^2 = 1^2 + 1^2
 \quad \Leftrightarrow \quad
 x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln

Die Trigonometrischen Funktionen für Winkeln kleiner als 0° oder größer als 90°, definiert man durch den Einheitskreis.

Die Definition der Tangensfunktion ist

und ist also die Steigung der Geraden mit den Winkel u.

 \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
                = \frac{3\pi+ \pi}{6}
                = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

 \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

The trigonometric functions graphs

In the last section, we used a unit circle to define cosine and sine of arbitrary angles and we often will use the unit circle in the future, for example, to derive trigonometric relationships and solve trigonometric equations. However, there are certain characteristics of the trigonometric functions that are better illustrated by drawing their graphs.

In these graphs, we might observe several things more clearly than in the unit circle. Some examples are:

• The curves for cosine and sine repeat themselves after a change in angle of \displaystyle 2\pi, that is the \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x and \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. For the unit circle \displaystyle 2\pi corresponds to a revolution, and after a complete revolution angles return to the same location on the unit circle and therefore have the same coordinates.

• The curve for the tangent repeats itself after a change in angle of \displaystyle \pi, that is \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Two angles which differ by \displaystyle \pi share the same line through the origin of the unit circle and thus their radial lines have the same slope.

• Except for a phase shift of \displaystyle \pi/2 the curves for cosine and sine are identical, that is \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2); more about this in the next section.

The curves can also be important when examining trigonometric equations. With a simple sketch, you can often get an idea of how many solutions an equation has, and where the solutions lie.

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