Lösung 3.4:3b

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The expressions <math>\ln\bigl(x^2+3x\bigr)</math> and <math>\ln\bigl(3x^2-2x \bigr)</math> are equal only if their arguments are equal, i.e.
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Die Ausdrücke <math>\ln\bigl(x^2+3x\bigr)</math> und <math>\ln\bigl(3x^2-2x \bigr)</math> sind gleich wenn deren Argumente Gleich sind, also wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}</math>}}
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However, we have to be careful! If we obtain a value for ''x'' which makes the arguments equal but negative or zero, then it will not correspond to a genuine solution because ln is not defined for negative arguments. At the end of the exercise, we must therefore check that <math>x^2 + 3x</math> and <math>3x^2 - 2x</math> really are positive for those solutions that we have calculated.
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Hier müssen wir aber vorsichtig sein. Falls beide seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen ob die Ausdrücke <math>x^2 + 3x</math> und <math>3x^2 - 2x</math> positiv sind, für unsere Lösungen ''x''.
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If we move all the terms over to one side in the equation for the arguments, we get the second-degree equation
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Wir sammeln alle Terme auf einer Seite, und erhalten so eine quadratische Gleichung.
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2-5x=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2-5x=0</math>}}
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and we see that both terms contain ''x'', which we can take out as a factor,
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Nachdem alle Terme ''x'' enthalten, ziehen wir den Faktor ''x'' heraus
{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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From this factorized expression, we read off that the solutions are <math>x=0</math>
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und sehen direkt dass die Lösungen <math>x=0</math>
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and <math>x=5/2\,</math>.
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und <math>x=5/2\,</math> sind.
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A final check shows that when <math>x=0</math> then <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0</math>, so <math>x=0</math> is not a solution. On the other hand, when <math>x=5/2</math> then <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0</math>, so <math>x=5/2</math> is a solution.
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Wir sehen dass wenn <math>x=0</math> ist <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0</math>, und also ist <math>x=0</math> keine Lösung. <math>x=5/2</math> ergibt aber <math>x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0</math>, also ist <math>x=5/2</math> eine Lösung.

Version vom 17:25, 27. Mär. 2009

Die Ausdrücke \displaystyle \ln\bigl(x^2+3x\bigr) und \displaystyle \ln\bigl(3x^2-2x \bigr) sind gleich wenn deren Argumente Gleich sind, also wenn

\displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x\,\textrm{.}

Hier müssen wir aber vorsichtig sein. Falls beide seiten negativ sind, ist dies keine gültige Lösung, nachdem der Logarithmus nicht für negative Argumente definiert ist. Daher müssen wir testen ob die Ausdrücke \displaystyle x^2 + 3x und \displaystyle 3x^2 - 2x positiv sind, für unsere Lösungen x.

Wir sammeln alle Terme auf einer Seite, und erhalten so eine quadratische Gleichung.

\displaystyle 2x^2-5x=0

Nachdem alle Terme x enthalten, ziehen wir den Faktor x heraus

\displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{.}

und sehen direkt dass die Lösungen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=5/2\, sind.

Wir sehen dass wenn \displaystyle x=0 ist \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 0, und also ist \displaystyle x=0 keine Lösung. \displaystyle x=5/2 ergibt aber \displaystyle x^2 + 3x = 3x^2 - 2x = 55/4 > 0, also ist \displaystyle x=5/2 eine Lösung.

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