4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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(Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Känna till be...)
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{{Gewählter Tab|[[4.2 Trigonometrische Funktionen|Theorie]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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*De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens.
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*Die trigonometrischen Funktionen Cosinus, Sinus und Tangens.
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Känna till begreppen spetsig, trubbig och rät vinkel.
+
*Die Begriffe Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse und rechtwinklige Dreiecke kennen.
-
*Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln.
+
 
-
*Utantill kunna värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna <math>0</math>, <math>\pi/6</math> , <math>\pi/4</math> , <math>\pi/3</math> och <math>\pi/2</math>.
+
*Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens durch den Einheitskreis.
-
*Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna i någon kvadrant av enhetscirkeln.
+
 
-
*Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens.
+
*Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für die Winkel <math>0</math>, <math>\pi/6</math> , <math>\pi/4</math> , <math>\pi/3</math> und <math>\pi/2</math> auswendig können.
-
*Lösa trigonometriska problem som involverar rätvinkliga trianglar.
+
*Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens durch Drehungen des Einheitskreises für andere Winkel berechnen.
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*Die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
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*Trigonometrische Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen.
}}
}}
-
== Trigonometri i rätvinkliga trianglar ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
 
 +
== A - Rechtwinklige Dreiecke ==
-
I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten <math>a</math> och den närliggande kateten <math>b</math> för tangens av vinkeln <math>u</math> och betecknas <math>\tan u</math>.
+
In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete <math>a</math> und der Ankathete <math>b</math> den Tangens des Winkels <math>u</math>, und wird <math>\tan u</math> geschrieben.
<center>
<center>
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|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och kateterna a och b}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten a und b}}
 +
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<math>\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}</math>
<math>\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}</math>
Zeile 31: Zeile 43:
</center>
</center>
-
Värdet på kvoten <math>\frac{a}{b}</math> är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln <math>u</math>. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).
+
Der Wert des Bruches <math>\frac{a}{b}</math> verändert sich nicht, wenn a und b mit der selben Zahl multipliziert werden. Das heißt, die tatsächliche Länge der Seiten ist egal, es zählt nur das Verhältnis der Längen zueinander. Daraus können wir schließen, dass der Bruch auch unabhängig davon ist, ob die Längen in Metern, Zentimetern, Inchs etc gemessen werden. Verschiedene Winkel ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man mittels einer Tabelle oder mit Hilfe eines Taschenrechner erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Hur hög är flaggstången?
+
Wie hoch ist der Flaggenmast?
-
<center>{{:4.2 - Figur - Flaggstång}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Flaggenmast}}</center>
-
Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med <math>x</math> nedan).
+
Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der unbekannten Seite <math>x</math>.
-
<center>{{:4.2 - Figur - Flaggstångstriangel}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Flaggenmastdreieck}}</center>
-
Från definitionen av tangens har vi att
+
Aus der Definition des Tangens erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}\,.</math>}}
-
och eftersom <math>\tan 40^\circ \approx 0{,}84</math> så är
+
Nachdem <math>\tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84</math> erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
+
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84
-
= 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
+
= 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
 +
Bestimme die Länge der Seite <math>x</math> in der Figur.
-
Bestäm längden av sidan markerad med <math>x</math> i figuren.
+
<center>{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck}}</center>
-
<center>{{:4.2 - Figur - Dubbeltriangel}}</center>
+
Wir nennen den Winkel links <math>u</math> und schreiben <math>\tan u</math> auf zwei verschiedene Weisen:
-
Om vi kallar vinkeln längst till vänster för <math>u</math> så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för <math>\tan u</math>.
+
{| align="center"
-
 
+
-
{|
+
|-
|-
| width="5%" |
| width="5%" |
| valign="center" align="left" |
| valign="center" align="left" |
-
{{:4.2 - Figur - Dubbeltriangel med den lilla triangeln framhävd}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck mit dem kleineren Dreieck geschattet}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" valign="center" align="left" |
| width="85%" valign="center" align="left" |
Zeile 73: Zeile 84:
|}
|}
-
{|
+
{| align="center"
|-
|-
| width="5%" |
| width="5%" |
| valign="centger" align="left" |
| valign="centger" align="left" |
-
{{:4.2 - Figur - Dubbeltriangel med den stora triangeln framhävd}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein doppeltes Dreieck mit dem größeren Dreieck schattiert}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="85%" valign="center" align="left" |
| width="85%" valign="center" align="left" |
Zeile 83: Zeile 94:
|}
|}
-
Sätter vi de två uttrycken för <math>\tan u</math> lika fås
+
Nachdem die beiden Gleichungen für <math>\tan u</math> gleich sind, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\frac{22}{40} = \frac{x}{60}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{22}{40} = \frac{x}{60}\,.</math>}}
-
vilket ger att <math>x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33</math>.
+
Wir erhalten <math>x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33</math>.
</div>
</div>
-
Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är <math>\cos u = b/c</math> ("cosinus av <math>u</math>") och <math>\sin u = a/c</math> ("sinus av <math>u</math>").
+
Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einem Dreieck, die besondere Namen besitzen, nämlich <math>\cos u = b/c</math> ("Cosinus von <math>u</math>"), und <math>\sin u = a/c</math> (" Sinus von <math>u</math>").
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidorna a, b och c}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten a, b und c}}
-
| width="20px" |
+
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
<math>\begin{align*}
<math>\begin{align*}
Zeile 102: Zeile 114:
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
|}
|}
-
 
+
</center>
-
Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln <math>u</math>.
+
Genau wie für die Tangensfunktion sind die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion nur von dem Winkel <math>u</math> abhängig, also nicht von der Größe des Dreiecks.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 114: Zeile 126:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
 +
| width="5%" |
|align="left" valign="top"|
|align="left" valign="top"|
-
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidor 3, 4 och 5}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten 3, 4 und 5}}
-
|width="100%" align="left" valign="top"|
+
| width="10%" |
-
I triangeln till vänster är
+
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
Im linken Dreieck
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt]
\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt]
\sin u &= \tfrac{3}{5}
\sin u &= \tfrac{3}{5}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
 +
|-
 +
| height="10px" |
|-
|-
|valign="top"|
|valign="top"|
Zeile 127: Zeile 143:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
 +
| width="5%" |
|align="left" valign="top"|
|align="left" valign="top"|
-
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 38° och sidor x och 5}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel 38° und den Seiten x und 5}}
-
|width="100%" align="left" valign="top"|
+
| width="10%" |
-
Definitionen av sinus ger att
+
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
{{Fristående formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
+
Durch die Definition des Sinus erhalten wir
-
och vet vi att <math>\sin 38^\circ \approx 0{,}616</math> så får vi att
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}</math>}}
+
und <math>\sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616</math> gibt uns
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}</math>}}
 +
|-
 +
| height="10px" |
|-
|-
|valign="top"|
|valign="top"|
Zeile 139: Zeile 159:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
 +
| width="5%" |
|align="left" valign="top"|
|align="left" valign="top"|
-
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 34° och sidor 3 och x}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel 34° und den Seiten 3 und x}}
-
|width="100%" align="left" valign="top"|
+
| width="10%" |
-
Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan
+
| width="85%" align="left" valign="top" |
-
{{Fristående formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
+
Der Cosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse
-
Alltså är
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}</math>}}
+
Also haben wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}</math>}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
 +
Bestimme <math>\sin u</math> im Dreieck
-
Bestäm <math>\sin u</math> i triangeln
+
<center>{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten ½ und 1}}</center>
-
<center>{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½ och 1}}</center>
+
Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen
-
 
+
-
Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas
+
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½, x och 1}}
+
{{:4.2 - Bild - Ein rechteckiges Dreieck mit dem Winkel u und den Seiten ½, x und 1}}
-
| width="20px" |
+
| width="30px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
-
<math>1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
+
<math>1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.</math>
|}
|}
 +
</center>
-
och därför är <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
+
Daher ist <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
</div>
</div>
-
== Några standardvinklar ==
+
== B - Wichtige Winkel ==
-
För vissa vinklar 30°, 45° och 60° går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.
+
Für die Winkel 30°, 45° und 60° ist es einfach, die Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.
+
Wir betrachten ein Quadrat mit der Seite 1. Die Diagonale dieses Quadrates teilt einen rechten Winkel in zwei, also in zwei Winkeln von 45°.
-
<center>{{:4.2 - Figur - Två enhetskvadrater}}</center>
 
-
Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd <math>x</math>,
+
<center>{{:4.2 - Bild - Zwei Einheitsquadrate}}</center>
-
{{Fristående formel||<math>
+
-
x^2 = 1^2 + 1^2
+
-
\quad \Leftrightarrow \quad
+
-
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
-
I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln <math>45^\circ</math>.
+
Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge <math>x</math> der Diagonale,
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
x^2 = 1^2 + 1^2
 +
\quad \Leftrightarrow \quad
 +
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
Jedes Dreieck hat die Diagonale als Hypotenuse, und daher bekommen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen für den Winkel <math>45^\circ</math>.
 +
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Figur - Enhetskvadrat vars halva är en rätvinklig triangel}}
+
{{:4.2 - Bild - Einheitsquadrat, dessen Hälfte ein rechteckiges Dreieck ist}}
-
| width="20px" |
+
| width="30px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
<math>\begin{align*}
<math>\begin{align*}
Zeile 202: Zeile 227:
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
|}
|}
 +
</center>
 +
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.
+
Wir betrachten ein Dreieck, wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke, haben diese Dreiecke einen Winkel, der <math>30 \,^{\circ}</math> ist.
-
<center>{{:4.2 - Figur - Två liksidiga trianglar}}</center>
 
-
Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är <math>x=\sqrt{3}/2</math>. Från en triangelhalva får vi att
+
<center>{{:4.2 - Bild - Zwei gleichseitige Dreiecke}}</center>
 +
Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe <math>x=\sqrt{3}/2</math>. Betrachten wir eines der kleineren Dreiecke, erhalten wir
 +
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
-
{{:4.2 - Figur - En halv liksidig triangel}}
+
{{:4.2 - Bild - Die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks}}
| width="20px" |
| width="20px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
Zeile 231: Zeile 260:
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
|}
|}
 +
</center>
 +
</div>
</div>
 +
Zusammenfassung:
 +
{| class="wikitable" border="5"
 +
|-
 +
! x
 +
! sin(x)
 +
! cos(x)
 +
! tan(x)
 +
|-
 +
| 0
 +
| 0
 +
| 1
 +
| 0
 +
|-
 +
| <math>\frac{\pi}{6}</math>
 +
| <math>\frac{1}{2}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
 +
|-
 +
| <math>\frac{\pi}{4}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
 +
| 1
 +
|-
 +
| <math>\frac{\pi}{3}</math>
 +
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
 +
| <math>\frac{1}{2}</math>
 +
| <math>\sqrt{3}</math>
 +
|-
 +
| <math>\pi</math>
 +
| 0
 +
| -1
 +
| 0
 +
|-
 +
|}
-
== Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar ==
+
Radiant-Grad Umwandlung:
 +
<math>\pi=180°</math>
-
För vinklar som är mindre än 0° eller större än 90° definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1).
+
also <math>\frac{\pi}{x}[rad]=\frac{180°}{x}</math>
 +
 
 +
Bsp:
 +
 
 +
<math>\frac{\pi}{6}[rad]=\frac{180°}{6}=30°</math>
 +
 
 +
== C- Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln ==
 +
 
 +
Die trigonometrischen Funktionen für Winkel kleiner als 0° oder größer als 90° definiert man durch den Einheitskreis.
<div class="regel">
<div class="regel">
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
-
| width="100%" |
+
| width="90%" valign="center"|
-
De trigonometriska funktionerna <math>\cos u</math> och <math>\sin u</math> är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln <math>u</math> med den positiva ''x''-axeln.
+
Die trigonometrische Funktionen <math>\cos u</math> und <math>\sin u</math> sind die ''x''- und ''y''-Werte des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel <math>u</math> zur ''x''-Achse.
 +
| width="10%" |
| align="right" valign="center" |
| align="right" valign="center" |
-
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln u och punkten (cos u, sin u)}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel u und dem Punkt (cos u, sin u)}}
|}
|}
</div>
</div>
-
Tangensfunktionen definieras som
+
Die Definition der Tangensfunktion ist
-
{{Fristående formel||<math>\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}</math>}}
-
och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.
+
und daher ist der Steigungswinkel der Geraden ''u''.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus.
+
Bestimme in den Figuren die Cosinus- und Sinuswerte der Winkel:
{| width="100%"
{| width="100%"
Zeile 266: Zeile 341:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
-
|align="left" valign="center"|
+
|align="right" valign="center"|
-
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 104° och punkten (-0,24; 0,97)}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 104° und dem Punkt (-0.24,0.97)}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
Zeile 280: Zeile 355:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
-
|align="left" valign="center"|
+
|align="right" valign="center"|
-
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 201° och punkten (-0,93; -0,36)}}
+
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 201° und dem Punkt (-0.93,-0.36)}}
| width="10%" |
| width="10%" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
| width="90%" align="left" valign="center" |
Zeile 293: Zeile 368:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
-
Vilket tecken har
+
Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
-
|width="100%"|
+
|width="95%"|
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\cos 209^\circ</math>
<li><math>\cos 209^\circ</math>
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Eftersom vinkeln <math>209^\circ</math> kan skrivas som <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ ''x''-koordinat, vilket betyder att <math>\cos 209^\circ</math> är negativ.</li>
+
Nachdem <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> ist, liegt der Punkt im dritten Quadranten, und daher ist der ''x''-Wert des Punktes negativ und daher auch der Cosinuswert. Also ist <math>\cos 209^\circ</math> negativ .</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|
+
| width="5%" |
-
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 209° och linjen x = cos 209°}}
+
| align="right" |
 +
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 209° und der Geraden x = cos 209°}}
|-
|-
-
|width="100%"|
+
| width="95%" |
<ol type="a" start="2">
<ol type="a" start="2">
<li><math>\sin 133^\circ</math>
<li><math>\sin 133^\circ</math>
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Vinkeln <math>133^\circ</math> är lika med <math>90^\circ + 43^\circ</math> och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv ''y''-koordinat och därför är <math>\sin 133^\circ</math> positiv.</li>
+
Nachdem <math>133^\circ = 90^\circ + 43^\circ</math>, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, wo die ''y''-Werte Positiv sind. Also ist <math>\sin 133^\circ</math> positiv.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|
+
| width="5%" |
-
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 133° och linjen y = sin 133°}}
+
| align="right" |
 +
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel 133° und der Geraden y = sin 133°}}
|-
|-
-
|width="100%"|
+
| width="95%" |
<ol type="a" start="3">
<ol type="a" start="3">
<li><math>\tan (-40^\circ)</math>
<li><math>\tan (-40^\circ)</math>
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Ritas vinkeln <math>-40^\circ</math> in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. <math>\tan (-40^\circ)</math> är negativ.</li>
+
Indem wir den Winkel <math>-40^\circ</math> im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir, dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist <math>\tan (-40^\circ)</math> negativ. </li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|
+
| width="5%" |
-
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln -40° och linjen med riktningskoefficient tan -40°}}
+
| align="right" |
 +
{{:4.2 - Bild - Der Einheitskreis mit dem Winkel -40° und die Gerade mit der Steigung tan -40°}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
-
Bestäm <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
+
Berechne <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math>.
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<br>
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-
Omskrivningen
+
Wir schreiben <math>\,\sin\frac{2\pi}{3}</math> wie
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
+
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
-
= \frac{3\pi+ \pi}{6}
+
= \frac{3\pi+ \pi}{6}
-
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
+
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
-
visar att vinkeln <math>2\pi/3</math> hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln <math>\pi/6</math> med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att <math>2\pi/3</math>-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. Alltså är
+
Daher liegt <math>2\pi/3</math> im zweiten Quadranten und bildet den positiven Winkel <math>\pi/6</math> mit der ''y''-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir, dass die ''y''-Koordinate von <math>2\pi/3</math> <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math> ist. Also erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
-
<center>{{:4.2 - Figur - Två enhetscirklar med vinkeln 2π/3 (vinkeln π/6 mot y-axeln)}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Zwei Einheitskreise mit dem Winkel 2π/3 (Winkel π/6 mit der y-Achse)}}</center>
</div>
</div>
-
== De trigonometriska funktionernas grafer ==
+
== D - Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen ==
-
I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.
+
In diesen Abschnitt haben wir den Einheitskreis verwendet, um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit dem Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
-
<center>{{:4.2 - Figur - Sinuskurva}}</center>
 
-
<center><small>Grafen till sinusfunktionen</small></center>
 
-
<center>{{:4.2 - Figur - Cosinuskurva}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Sinuskurve}}</center>
-
<center><small>Grafen till cosinusfunktionen</small></center>
+
<center><small>Der Graph der Sinusfunktion </small></center>
-
<center>{{:4.2 - Figur - Tangenskurva}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Cosinuskurve}}</center>
-
<center><small>Grafen till tangensfunktionen</small></center>
+
<center><small>Der Graph der Cosinusfunktion </small></center>
-
I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är
+
<center>{{:4.2 - Bild - Eine Tangenskurve}}</center>
 +
<center><small>Der Graph der Tangensfunktion </small></center>
-
*Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på <math>2\pi</math>, dvs. det gäller att <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> och <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. I enhetscirkeln motsvarar <math>2\pi</math> ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.
 
-
*Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på <math>\pi</math>, dvs. <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Två vinklar som skiljer sig åt med <math>\pi</math> ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.
+
Hier beobachten wir einige interessante Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:
-
*Förutom en fasförskjutning på <math>\pi/2</math> är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; mer om detta i nästa kapitel.
+
* Die Cosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode <math>2\pi</math>. Dies bedeutet, dass <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> und <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. Im Einheitskreis entspricht das einer Drehung von <math>2\pi</math>, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.
 +
* Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode <math>\pi</math>. Also ist <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Zwei Winkel mit der Differenz <math>\pi</math> haben dieselbe Gerade und daher dieselbe Steigung.
-
Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.
+
* Außer eine Verschiebung von <math>\pi/2</math>, sind die Cosinus- und Sinusfunktionen identisch. Genauer ist <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>. Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.
 +
 
 +
Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei trigonometrischen Gleichungen, da sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
-
Hur många lösningar har ekvationen <math>\cos x = x^2</math>? (där <math>x</math> mäts i radianer)
+
Wie viele Lösungen hat die Gleichun <math>\cos x = x^2</math> (wobei <math>x</math> der Winkel in Radianten ist)?
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Genom att rita upp graferna <math>y=\cos x</math> och <math>y=x^2</math> ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två ''x''-värden för vilka motsvarande ''y''-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.
+
Wir zeichnen die Graphen von <math>y=\cos x</math> und <math>y=x^2</math> und sehen, dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen ''x'', wo die ''y''-Werte der beiden Funktionen gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.
-
<center>{{:4.2 - Figur - Kurvorna y = cos x och y = x²}}</center>
+
<center>{{:4.2 - Bild - Die Kurven y = cos x und y = x²}}</center>
</div>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.2 Übungen|Übungen]]''' .
-
[[4.2 Övningar|Övningar]]
+
<div class="inforuta" style="width:580px;">
 +
'''Tipps fürs lernen'''
-
<div class="inforuta">
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
'''Råd för inläsning'''
+
-
'''Grund- och slutprov'''
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
 
 +
'''Bedenke folgendes: '''
-
'''Tänk på att:'''
+
Die Verwendung von Trigonoetrie vereinfacht viele geometrische Probleme.
-
Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning.
+
Versichere Dich, dass Du die Definition der trigonometrischen Funktionen durch den Einheitskreis wirklich verstehst.
-
Du kan behöva lägga ner mycket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna.
 
-
Ta för vana att räkna med exakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttryck.
+
'''Literaturhinweise'''
 +
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
-
'''Lästips'''
 
-
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
 
-
[http://dooku.miun.se/per.edstrom/interaktiv_matematik/trigonometri/cos_even.html Läs mer om Trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion Mehr über trigonometrische Funktionen in der Wikipedia]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis Mehr über den Einheitskreis in der Wikipedia]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_circle Läs mer om enhetscirkeln på engelska Wikipedia]
 
-
'''Länktips'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Experimentera med sinus och cosinus i enhetscirkeln]
+
[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf Experimente mit Sinus und Cosinus im Einheitskreis]
-
[http://www.math.psu.edu/dlittle/java/geometry/euclidean/toolbox.html Experimentera med Euklidisk geometri]
+
[http://www.math.psu.edu/dlittle/java/geometry/euclidean/toolbox.html experimentiere mit euklidischer Geometrie (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die trigonometrischen Funktionen Cosinus, Sinus und Tangens.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Die Begriffe Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse und rechtwinklige Dreiecke kennen.
  • Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens durch den Einheitskreis.
  • Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für die Winkel \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 und \displaystyle \pi/2 auswendig können.
  • Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens durch Drehungen des Einheitskreises für andere Winkel berechnen.
  • Die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
  • Trigonometrische Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Rechtwinklige Dreiecke

In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete \displaystyle a und der Ankathete \displaystyle b den Tangens des Winkels \displaystyle u, und wird \displaystyle \tan u geschrieben.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Der Wert des Bruches \displaystyle \frac{a}{b} verändert sich nicht, wenn a und b mit der selben Zahl multipliziert werden. Das heißt, die tatsächliche Länge der Seiten ist egal, es zählt nur das Verhältnis der Längen zueinander. Daraus können wir schließen, dass der Bruch auch unabhängig davon ist, ob die Längen in Metern, Zentimetern, Inchs etc gemessen werden. Verschiedene Winkel ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man mittels einer Tabelle oder mit Hilfe eines Taschenrechner erhalten.

Beispiel 1

Wie hoch ist der Flaggenmast?

[Image]

Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der unbekannten Seite \displaystyle x.

[Image]

Aus der Definition des Tangens erhalten wir

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}\,.

Nachdem \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84 erhalten wir

\displaystyle

x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84 = 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Beispiel 2 Bestimme die Länge der Seite \displaystyle x in der Figur.

[Image]

Wir nennen den Winkel links \displaystyle u und schreiben \displaystyle \tan u auf zwei verschiedene Weisen:

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Nachdem die beiden Gleichungen für \displaystyle \tan u gleich sind, erhalten wir

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}\,.

Wir erhalten \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einem Dreieck, die besondere Namen besitzen, nämlich \displaystyle \cos u = b/c ("Cosinus von \displaystyle u"), und \displaystyle \sin u = a/c (" Sinus von \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Genau wie für die Tangensfunktion sind die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion nur von dem Winkel \displaystyle u abhängig, also nicht von der Größe des Dreiecks.

Beispiel 3

[Image]

Im linken Dreieck

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Durch die Definition des Sinus erhalten wir

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

und \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616 gibt uns

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}

[Image]

Der Cosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Also haben wir

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Beispiel 4 Bestimme \displaystyle \sin u im Dreieck

[Image]

Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Daher ist \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.


B - Wichtige Winkel

Für die Winkel 30°, 45° und 60° ist es einfach, die Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

Beispiel 5

Wir betrachten ein Quadrat mit der Seite 1. Die Diagonale dieses Quadrates teilt einen rechten Winkel in zwei, also in zwei Winkeln von 45°.


[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge \displaystyle x der Diagonale,

\displaystyle

x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Jedes Dreieck hat die Diagonale als Hypotenuse, und daher bekommen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen für den Winkel \displaystyle 45^\circ.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Beispiel 6

Wir betrachten ein Dreieck, wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke, haben diese Dreiecke einen Winkel, der \displaystyle 30 \,^{\circ} ist.


[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Betrachten wir eines der kleineren Dreiecke, erhalten wir

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}

Zusammenfassung:

x sin(x) cos(x) tan(x)
0 0 1 0
\displaystyle \frac{\pi}{6} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
\displaystyle \frac{\pi}{4} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 1
\displaystyle \frac{\pi}{3} \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \displaystyle \frac{1}{2} \displaystyle \sqrt{3}
\displaystyle \pi 0 -1 0

Radiant-Grad Umwandlung: \displaystyle \pi=180°

also \displaystyle \frac{\pi}{x}[rad]=\frac{180°}{x}

Bsp:

\displaystyle \frac{\pi}{6}[rad]=\frac{180°}{6}=30°

C- Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln

Die trigonometrischen Funktionen für Winkel kleiner als 0° oder größer als 90° definiert man durch den Einheitskreis.

Die trigonometrische Funktionen \displaystyle \cos u und \displaystyle \sin u sind die x- und y-Werte des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel \displaystyle u zur x-Achse.

[Image]

Die Definition der Tangensfunktion ist

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

und daher ist der Steigungswinkel der Geraden u.


Beispiel 7

Bestimme in den Figuren die Cosinus- und Sinuswerte der Winkel:

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align*}

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align*}

Beispiel 8

Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?

  1. \displaystyle \cos 209^\circ

    Nachdem \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ ist, liegt der Punkt im dritten Quadranten, und daher ist der x-Wert des Punktes negativ und daher auch der Cosinuswert. Also ist \displaystyle \cos 209^\circ negativ .

[Image]

  1. \displaystyle \sin 133^\circ

    Nachdem \displaystyle 133^\circ = 90^\circ + 43^\circ, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, wo die y-Werte Positiv sind. Also ist \displaystyle \sin 133^\circ positiv.

[Image]

  1. \displaystyle \tan (-40^\circ)

    Indem wir den Winkel \displaystyle -40^\circ im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir, dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist \displaystyle \tan (-40^\circ) negativ.

[Image]

Beispiel 9

Berechne \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Wir schreiben \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3} wie

\displaystyle

\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Daher liegt \displaystyle 2\pi/3 im zweiten Quadranten und bildet den positiven Winkel \displaystyle \pi/6 mit der y-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir, dass die y-Koordinate von \displaystyle 2\pi/3 \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2 ist. Also erhalten wir

\displaystyle

\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

[Image]


D - Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen

In diesen Abschnitt haben wir den Einheitskreis verwendet, um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit dem Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.


[Image]

Der Graph der Sinusfunktion

[Image]

Der Graph der Cosinusfunktion

[Image]

Der Graph der Tangensfunktion


Hier beobachten wir einige interessante Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

  • Die Cosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode \displaystyle 2\pi. Dies bedeutet, dass \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x und \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. Im Einheitskreis entspricht das einer Drehung von \displaystyle 2\pi, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.
  • Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode \displaystyle \pi. Also ist \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Zwei Winkel mit der Differenz \displaystyle \pi haben dieselbe Gerade und daher dieselbe Steigung.
  • Außer eine Verschiebung von \displaystyle \pi/2, sind die Cosinus- und Sinusfunktionen identisch. Genauer ist \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2). Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.

Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei trigonometrischen Gleichungen, da sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.

Beispiel 10

Wie viele Lösungen hat die Gleichun \displaystyle \cos x = x^2 (wobei \displaystyle x der Winkel in Radianten ist)?

Wir zeichnen die Graphen von \displaystyle y=\cos x und \displaystyle y=x^2 und sehen, dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen x, wo die y-Werte der beiden Funktionen gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

[Image]



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Die Verwendung von Trigonoetrie vereinfacht viele geometrische Probleme.

Versichere Dich, dass Du die Definition der trigonometrischen Funktionen durch den Einheitskreis wirklich verstehst.


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über trigonometrische Funktionen in der Wikipedia

Mehr über den Einheitskreis in der Wikipedia


Nützliche Websites

Experimente mit Sinus und Cosinus im Einheitskreis

experimentiere mit euklidischer Geometrie (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.2_Trigonometrische_Funktionen“