3.1 Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Vald flik|[[3.1 Roots|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[3.1 Wurzeln|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[3.1 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[3.1 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Square roots and ''n'''th roots
+
*Quadratische und allgemeine Wurzeln
-
*Manipulating roots
+
*Wurzelausdrücke
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*How to calculate the square root of some simple integers.
+
*Die Quadratwurzel von kleinen ganzen Zahlen berechnen.
-
*That the square root of a negative number has not been defined.
+
*Wissen, dass die Quadratwurzel nicht für negative Zahlen definiert ist.
-
*That the square root of a number denotes the positive root.
+
*Wissen, dass die Quadratwurzel immer nicht-negativ ist.
-
*How to manipulate roots in the simplification of expressions containing roots.
+
*Wurzelausdrücke vereinfachen.
-
*To recognise when the methods of manipulating roots are valid. (Non-negative arguments).
+
*Wissen, welche Vereinfachungen von Wurzeln gültig sind.
-
*How to simplify expressions containing quadratic roots in the denominator.
+
*Wissen, wann die ''n''-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.
-
*When the ''n'''th root of a negative number is defined (''n'' odd).
+
}}
}}
-
== Square roots ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
 
 +
== A - Quadratwurzeln ==
[[Image:rotbubbla.gif|right]]
[[Image:rotbubbla.gif|right]]
-
The well-known symbol <math>\sqrt{a}</math>, the square root of <math>a</math>, is used to describe the number that when multiplied by itself gives <math>a</math>. However, one has to be a little more precise in defining this symbol.
+
Das schon bekannte Symbol <math>\sqrt{a}</math> bezeichnet die Quadratwurzel einer positiven Zahl <math>a</math>, mit anderen Worten diejenige, die mit sich selbst multipliziert, <math>a</math> ergibt. Es gibt aber eine genauere Definition der Quadratwurzel.
-
The equation <math>x^2 = 4</math> has two solutions <math>x = 2</math> and <math>x = -2</math>, since both <math>2\cdot 2 = 4</math> and <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. It would then be logical to suppose that <math>\sqrt{4}</math> can be either <math>-2</math> or <math>2</math>, i.e. <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>, but <math>\sqrt{4}</math> only denotes the positive number <math>2</math>.
+
Der Ausdruck <math>x^2 = 4</math> hat wie bekannt zwei Wurzeln, <math>x = 2</math> und <math>x = -2</math>, da <math>2\cdot 2 = 4</math> und <math>(-2)\cdot(-2) = 4</math>. Daher scheint es natürlich, dass <math>\sqrt{4}</math> entweder <math>-2</math> oder <math>2</math>, also <math>\sqrt{4}= \pm 2</math>. Dies ist aber nicht der Fall, sondern <math>\sqrt{4}</math> bezeichnet nur die positive Wurzel <math>2</math>.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
The square root <math>\sqrt{a}</math> means '''the non-negative number''' that multiplied by
+
Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> ist die '''nicht negative''' Zahl, die mit sich selbst multipliziert <math>a</math> ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung <math>x^2 = a</math>. Es gilt also <math>\sqrt{x^{2}}=|x|</math>.
-
itself gives <math>a,</math> i.e. the non-negative solution to the equation <math>x^2 = a</math>.
+
-
Square root of <math>a</math> can also be written as <math>a^{1/2}</math>.
+
Die Quadratwurzel von <math>a</math> kann auch als <math>a^{1/2}</math> geschrieben werden.
</div>
</div>
-
It is therefore wrong to state that <math>\sqrt{4}= \pm 2,</math> but correct to state that the equation <math>x^2 = 4</math> has the solution <math>x = \pm 2</math>.
+
Deshalb ist es falsch, <math>\sqrt{4}= \pm 2,</math> zu schreiben, aber richtig, dass die Gleichung <math>x^2 = 4</math> die Wurzeln (Lösungen) <math>x = \pm 2</math> hat.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\sqrt{0}=0 \quad</math> because <math>0^2 = 0 \cdot 0
+
<li><math>\sqrt{0}=0 \quad</math> nachdem <math>0^2 = 0 \cdot 0
-
= 0</math> and <math>0</math> is not negative. </li>
+
= 0</math> und <math>0</math> nicht negativ ist. </li>
-
<li><math>\sqrt{100}=10 \quad</math> since <math> 10^2 = 10 \cdot 10
+
<li><math>\sqrt{100}=10 \quad</math> nachdem <math> 10^2 = 10 \cdot 10
-
= 100 </math> and <math>10</math> is a positive number. </li>
+
= 100 </math> und <math>10</math> eine positive Zahl ist. </li>
-
<li> <math>\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad</math> since <math>0{,}5^2
+
<li> <math>\sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad</math> nachdem <math>0{,}5^2
-
= 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 </math> and <math>0{,}5</math> is positive. </li>
+
= 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 </math> und <math>0{,}5</math> eine positive Zahl ist. </li>
-
<li><math>\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad</math> since <math>1{,}4142
+
<li><math>\sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad</math> nachdem <math>1{,}4142
-
\cdot 1{,}4142 \approx 2</math> and <math>1{,}4142</math> is positive. </li>
+
\cdot 1{,}4142 \approx 2</math> und <math>1{,}4142</math> positiv ist. </li>
-
<li> The equation <math>x^2=2</math> has the solutions <math>x=\sqrt{2}
+
<li> Die Gleichung <math>x^2=2</math> hat die Wurzeln (Lösungen) <math>x=\sqrt{2}
-
\approx 1{,}414</math> and <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>
+
\approx 1{,}414</math> und <math>x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414</math>.</li>
-
<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> is not defined, since there is no real number <math>x</math> that satisfies <math>x^2=-4</math>.</li>
+
<li><math>\sqrt{-4}\quad</math> ist nicht definiert, nachdem es keine reelle Zahl <math>x</math> gibt, die, die Gleichung <math>x^2=-4</math> erfüllt.</li>
-
<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> because <math> \sqrt{(-7)^2}
+
<li><math>\sqrt{(-7)^2} = 7 \quad</math> nachdem <math> \sqrt{(-7)^2}
= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>
= \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
When taking square roots, it is useful to know some methods of calculation. As <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> we can use the laws of exponents as "laws of roots". For example, we have
+
Nachdem die Quadratwurzel von a auch als <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> geschrieben werden kann, gelten die Rechenregeln für Potenzen auch für Wurzeln. Zum Beispiel haben wir
-
{{Fristående formel||<math>\sqrt{9\cdot 4}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{9\cdot 4}
-
= (9\cdot 4)^{1/2}
+
= (9\cdot 4)^{1/2}
-
= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
+
= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
-
= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}
+
= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}
-
In this way we obtain the following rules for quadratic roots, which apply to all real numbers <math> a, b \ge 0:</math>
+
Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen <math> a, b \ge 0</math> gelten.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
+
\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
-
\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
+
\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
-
a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
+
a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
( We must however, in the above division, assume as always that ''b'' is not 0.)
+
(Bei der Division darf ''b'' natürlich nicht Null sein.)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 96: Zeile 96:
</div>
</div>
-
Note that the above calculations assume that <math>a</math> and <math>b \ge 0</math>. If <math>a</math> and <math>b</math> are negative (<&nbsp;0) then <math>\sqrt{a}</math> and <math>\sqrt{b}</math> are not defined as real numbers. It is tempting to write , for example,
+
Wir müssen beachten, dass die Rechenregeln nur gelten, wenn <math>a \ge 0</math> und <math>b \ge 0</math>. Wenn <math>a</math> und <math>b</math> beide negativ sind, sind die Wurzeln <math>\sqrt{a}</math> und <math>\sqrt{b}</math> nicht definiert (zumindest nicht als reelle Zahlen). Deshalb kann man zum Beispiel nicht
-
{{Fristående formel||<math>-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1</math>}}
-
but something here cannot be right. The explanation is that <math> \sqrt{-1} </math> is not a real number, which means the laws of roots discussed above may not be used.
+
schreiben. Und zwar deshalb, weil <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl ist und die Rechenregeln für Wurzeln daher nicht definiert sind.
-
== Higher order roots ==
+
== B - Allgemeine Wurzeln ==
-
The cube root of a number <math>a</math> is defined as the number that multiplied by itself three times gives <math>a</math>, and is denoted as <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math>.
+
Die Kubikwurzel von <math>a</math> wird durch die Zahl definiert, die mit sich selbst drei Mal multipliziert <math>a</math> ergibt, und wird <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math> geschrieben.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad</math> as <math>2
+
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad</math> nachdem <math>2
\cdot 2 \cdot 2=8</math>.</li>
\cdot 2 \cdot 2=8</math>.</li>
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3
-
\quad</math> since <math>0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3
+
\quad</math> nachdem <math>0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3
= 0{,}027</math>.</li>
= 0{,}027</math>.</li>
-
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad</math> because <math>(-2)
+
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad</math> nachdem <math>(-2)
\cdot (-2) \cdot (-2)= -8</math>.
\cdot (-2) \cdot (-2)= -8</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Note that, unlike square roots, cube roots are also defined for negative numbers.
+
Zum Unterschied von Quadratwurzeln sind Kubikwurzeln auch für negative Zahlen definiert.
-
For any positive integers <math>n</math> one can define the <math>n</math>'th root of a number <math>a</math> as
+
Für jede positive Zahl <math>n</math> kann man die <math>n</math>-te Wurzel definieren:
-
* if <math>n</math> is even and <math>a\ge0</math> then <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> is the non-negative number that when multiplied by itself <math>n</math> times gives <math>a</math>,
+
* Wenn <math>n</math> gerade und <math>a\ge0</math> ist, ist <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> die nicht negative Zahl, die hoch <math>n</math> <math>a</math> ergibt,
-
* if <math>n</math> is odd, <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> is the number that when multiplied by itself <math>n</math> times gives <math>a</math>.
+
* Wenn <math>n</math> ungerade ist, ist <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> die Zahl, die hoch <math>n</math> <math>a</math> ergibt,
-
The root <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> can also be written as <math>a^{1/n}</math>.
+
Die Wurzel <math>\sqrt[\scriptstyle n]{a}</math> kann auch als <math>a^{1/n}</math> geschrieben werden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad</math> since <math>5
+
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad</math> nachdem <math>5
\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625</math>.</li>
\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625</math>.</li>
-
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> because <math>(-3)
+
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> nachdem <math>(-3)
\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
-
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> is not defined as <math>6</math> is even and <math>-17</math> is a negative number. </li>
+
<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> ist nicht definiert, nachdem <math>6</math> gerade ist und <math>-17</math> negativ ist. </li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
For <math>n</math>'th roots the same rules apply as for quadratic roots if <math>a, \, b \ge 0</math>. Note that if <math>n</math> is odd these methods apply even for negative <math>a</math> and <math>b</math>, that is, for all real numbers <math>a</math> and <math>b</math>.
+
Für die <math>n</math>-te Wurzel gelten dieselben Rechenregeln wir für die Quadratwurzel, falls <math>a, \, b \ge 0</math>. Falls <math>n</math> ungerade ist, gelten die Regeln auch für negative <math>a</math> und <math>b</math>, also für alle reellen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sqrt[\scriptstyle n]{ab}
+
\sqrt[\scriptstyle n]{ab}
-
&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
+
&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
-
\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
+
\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
-
\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
+
\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
-
&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
+
&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
-
a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
+
a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
-
&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
+
&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
 +
(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)
 +
== C - Vereinfachungen von Wurzelausdrücken ==
-
== Simplification of expressions containing roots ==
+
Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.
-
 
+
-
Often, one can significantly simplify expressions containing roots by using the usual methods for roots . As is also the case when using the laws of exponents, it is desirable to reduce expressions into as "small" roots as possible. For example, it is a good idea to do the following
+
-
{{Fristående formel||<math>\sqrt{8}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{8}
-
= \sqrt{4\cdot2}
+
= \sqrt{4\cdot2}
-
= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
+
= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
-
= 2\sqrt{2}</math>}}
+
= 2\sqrt{2}</math>}}
-
because it helps simplification as we see here
+
und ähnlich für die Division:
-
{{Fristående formel||<math>\frac{\sqrt{8}}{2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{8}}{2}
-
= \frac{2 \sqrt{2}}{2}
+
= \frac{2 \sqrt{2}}{2}
-
= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}
+
= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}
-
By rewriting expressions containing roots in terms of "small" roots one can also sum roots of "the same kind", e.g.
+
Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.
-
{{Fristående formel||<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}
-
= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
+
= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
-
= (2+1)\sqrt{2}
+
= (2+1)\sqrt{2}
-
= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}
+
= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 234: Zeile 234:
<li><math>(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,)
<li><math>(\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,)
= (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1</math>
= (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1</math>
-
where we have used the difference of two squares <math>(a+b)(a-b) = a^2 - b^2</math> with <math>a=\sqrt{3}</math> and <math>b=\sqrt{2}</math>.</li>
+
Wo wir die binomische Formel <math>(a+b)(a-b) = a^2 - b^2</math> mit <math>a=\sqrt{3}</math> und <math>b=\sqrt{2}</math> benutzt haben.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
== Rational root expressions ==
+
== D - Rationale Wurzelausdrücke ==
-
When roots appear in a rational expression one often wants to avoid roots in the denominator (because it is difficult with hand calculations to divide by irrational numbers). By multiplying the numerator and denominator by <math> \sqrt{2} </math> for example, one obtains
+
Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit <math> \sqrt{2} </math> erweitern
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{\sqrt{2}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\sqrt{2}}
-
= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
+
= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
-
= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}
+
= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}.
-
which usually is preferable.
+
Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.
-
In other cases, you can take advantage of the difference of two squares method, <math>(a+b)(a-b) = a^2 – b^2</math>. One multiplies the numerator and denominator by the denominator´s “conjugate” expression and the root sign is eliminated from the denominator by squaring, as in the following,
+
Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel <math>(a+b)(a-b) = a^2 – b^2</math> benutzen, um den Bruch zu vereinfachen. Indem man den Bruch mit dem konjugierten Nenner erweitert, erhält man immer einen Bruch ohne Wurzeln im Nenner.
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
+
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
-
&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
+
&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
-
= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
+
= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
-
&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
+
&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
-
= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
+
= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
-
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
+
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
-
= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
+
= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 289: Zeile 289:
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
<br><br>
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
-
[[3.1 Exercises|Exercises]]
+
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.1 Übungen|Übungen]]''' .
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Study advice'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
-
'''Basic and final tests'''
+
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
+
 +
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Keep in mind that: '''
+
'''Bedenken Sie folgendes: '''
-
The square root of a number is always non-negative (that is, positive or zero)!
+
Die Quadratwurzel ist immer nicht-negativ, das heißt, positiv oder null.
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Rules for roots are actually a special case of laws of exponents .
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Die Rechenregeln für Wurzeln sind nur Spezialfälle der Rechenregeln für Potenzen.
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For example: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>.
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Zum Beispiel: <math>\sqrt{x}=x^{1/2}</math>.
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'''Reviews'''
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'''Literaturhinweise'''
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
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Für die, die sich genauer mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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[http://en.wikipedia.org/wiki/Root_(mathematics) Learn more about square roots in the English Wikipedia ]
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik) Mehr über Wurzeln in der Wikipedia ]
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[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ How do we know that the root of 2 is not a fraction?]
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[http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/irr2/ Warum wissen wir, dass Wurzel 2 kein Bruch ist? (engl.)]
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'''Useful web sites'''
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'''Nützliche Websites'''
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[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.sqrt.by.hand.html How to find the root of a number, without the help of calculators?]
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[http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.sqrt.by.hand.html Wie findet man die Wurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Quadratische und allgemeine Wurzeln
  • Wurzelausdrücke

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Die Quadratwurzel von kleinen ganzen Zahlen berechnen.
  • Wissen, dass die Quadratwurzel nicht für negative Zahlen definiert ist.
  • Wissen, dass die Quadratwurzel immer nicht-negativ ist.
  • Wurzelausdrücke vereinfachen.
  • Wissen, welche Vereinfachungen von Wurzeln gültig sind.
  • Wissen, wann die n-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Quadratwurzeln

Das schon bekannte Symbol \displaystyle \sqrt{a} bezeichnet die Quadratwurzel einer positiven Zahl \displaystyle a, mit anderen Worten diejenige, die mit sich selbst multipliziert, \displaystyle a ergibt. Es gibt aber eine genauere Definition der Quadratwurzel.

Der Ausdruck \displaystyle x^2 = 4 hat wie bekannt zwei Wurzeln, \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2, da \displaystyle 2\cdot 2 = 4 und \displaystyle (-2)\cdot(-2) = 4. Daher scheint es natürlich, dass \displaystyle \sqrt{4} entweder \displaystyle -2 oder \displaystyle 2, also \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2. Dies ist aber nicht der Fall, sondern \displaystyle \sqrt{4} bezeichnet nur die positive Wurzel \displaystyle 2.


Die Quadratwurzel \displaystyle \sqrt{a} ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert \displaystyle a ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung \displaystyle x^2 = a. Es gilt also \displaystyle \sqrt{x^{2}}=|x|.

Die Quadratwurzel von \displaystyle a kann auch als \displaystyle a^{1/2} geschrieben werden.

Deshalb ist es falsch, \displaystyle \sqrt{4}= \pm 2, zu schreiben, aber richtig, dass die Gleichung \displaystyle x^2 = 4 die Wurzeln (Lösungen) \displaystyle x = \pm 2 hat.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \sqrt{0}=0 \quad nachdem \displaystyle 0^2 = 0 \cdot 0 = 0 und \displaystyle 0 nicht negativ ist.
  2. \displaystyle \sqrt{100}=10 \quad nachdem \displaystyle 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 und \displaystyle 10 eine positive Zahl ist.
  3. \displaystyle \sqrt{0{,}25}=0{,}5 \quad nachdem \displaystyle 0{,}5^2 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 und \displaystyle 0{,}5 eine positive Zahl ist.
  4. \displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \quad nachdem \displaystyle 1{,}4142 \cdot 1{,}4142 \approx 2 und \displaystyle 1{,}4142 positiv ist.
  5. Die Gleichung \displaystyle x^2=2 hat die Wurzeln (Lösungen) \displaystyle x=\sqrt{2} \approx 1{,}414 und \displaystyle x = -\sqrt{2} \approx -1{,}414.
  6. \displaystyle \sqrt{-4}\quad ist nicht definiert, nachdem es keine reelle Zahl \displaystyle x gibt, die, die Gleichung \displaystyle x^2=-4 erfüllt.
  7. \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = 7 \quad nachdem \displaystyle \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{(-7) \cdot (-7)} = \sqrt{49} = \sqrt{ 7 \cdot 7} = 7.

Nachdem die Quadratwurzel von a auch als \displaystyle \sqrt{a} = a^{1/2} geschrieben werden kann, gelten die Rechenregeln für Potenzen auch für Wurzeln. Zum Beispiel haben wir

\displaystyle \sqrt{9\cdot 4}

= (9\cdot 4)^{1/2} = 9^{1/2}\cdot 4^{1/2} = \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}

Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen \displaystyle a, b \ge 0 gelten.

\displaystyle \begin{align*}

\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt] \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt] a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b} \end{align*}

(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)

Beispiel 2

  1. \displaystyle \sqrt{64\cdot 81} = \sqrt{64}\cdot \sqrt{81} = 8\cdot 9 = 72
  2. \displaystyle \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}
  3. \displaystyle \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
  5. \displaystyle \sqrt{12} = \sqrt{ 4 \cdot 3 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Wir müssen beachten, dass die Rechenregeln nur gelten, wenn \displaystyle a \ge 0 und \displaystyle b \ge 0. Wenn \displaystyle a und \displaystyle b beide negativ sind, sind die Wurzeln \displaystyle \sqrt{a} und \displaystyle \sqrt{b} nicht definiert (zumindest nicht als reelle Zahlen). Deshalb kann man zum Beispiel nicht

\displaystyle -1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1

schreiben. Und zwar deshalb, weil \displaystyle \sqrt{-1} keine reelle Zahl ist und die Rechenregeln für Wurzeln daher nicht definiert sind.


B - Allgemeine Wurzeln

Die Kubikwurzel von \displaystyle a wird durch die Zahl definiert, die mit sich selbst drei Mal multipliziert \displaystyle a ergibt, und wird \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{a} geschrieben.

Beispiel 3

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{8} = 2 \quad nachdem \displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2=8.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{0{,}027} = 0{,}3 \quad nachdem \displaystyle 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{-8} = -2 \quad nachdem \displaystyle (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -8.

Zum Unterschied von Quadratwurzeln sind Kubikwurzeln auch für negative Zahlen definiert.

Für jede positive Zahl \displaystyle n kann man die \displaystyle n-te Wurzel definieren:

  • Wenn \displaystyle n gerade und \displaystyle a\ge0 ist, ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} die nicht negative Zahl, die hoch \displaystyle n \displaystyle a ergibt,
  • Wenn \displaystyle n ungerade ist, ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} die Zahl, die hoch \displaystyle n \displaystyle a ergibt,

Die Wurzel \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{a} kann auch als \displaystyle a^{1/n} geschrieben werden.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 4]{625} = 5\quad nachdem \displaystyle 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625.
  2. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad nachdem \displaystyle (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243.
  3. \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad ist nicht definiert, nachdem \displaystyle 6 gerade ist und \displaystyle -17 negativ ist.

Für die \displaystyle n-te Wurzel gelten dieselben Rechenregeln wir für die Quadratwurzel, falls \displaystyle a, \, b \ge 0. Falls \displaystyle n ungerade ist, gelten die Regeln auch für negative \displaystyle a und \displaystyle b, also für alle reellen Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b.

\displaystyle \begin{align*}

\sqrt[\scriptstyle n]{ab} &= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt] \sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt] a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b} &= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb} \end{align*}

(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)

C - Vereinfachungen von Wurzelausdrücken

Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.

\displaystyle \sqrt{8}

= \sqrt{4\cdot2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

und ähnlich für die Division:

\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}

= \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\mbox{.}

Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.

\displaystyle \sqrt{8} + \sqrt{2}

= 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = (2+1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\mbox{.}

Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{\sqrt{2 \cdot 9}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}}{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2^2}}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}
  2. \displaystyle \frac{\sqrt{72}}{6} = \frac{\sqrt{8 \cdot 9}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}}{ 2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2}}{ 2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \sqrt{2}
  3. \displaystyle \sqrt{45} + \sqrt{20} = \sqrt{9\cdot5} + \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{3^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\vphantom{\bigl(}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{45} + \sqrt{20}\vphantom{\bigl(}}{} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
  4. \displaystyle \sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(} = \sqrt{5 \cdot 10} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 9}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5 \cdot 2 \cdot 5} + 2\sqrt{3} -\sqrt{2 \cdot 4 \cdot 4} + \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3}\vphantom{a^{b^c}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{5^2 \cdot 2 } + 2\sqrt{3} -\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 3^2}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = 5\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 2 \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = (5-4)\sqrt{2} + (2+3)\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
    \displaystyle \phantom{\sqrt{50} + 2\sqrt{3} -\sqrt{32} + \sqrt{27}\vphantom{\Bigl(}}{} = \sqrt{2} + 5\sqrt{3}\vphantom{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}
  5. \displaystyle \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{12} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3 \cdot 4} } = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{3} }{ \sqrt[\scriptstyle3]{3} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{4} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2 \cdot 2} } = \frac{ 2 }{ \sqrt[\scriptstyle3]{2} \cdot \sqrt[\scriptstyle3]{2} } \cdot \displaystyle \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{2}}{ \sqrt[\scriptstyle3]{2}} = \frac{ 2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2} }{ 2 } = \sqrt[\scriptstyle3]{2}
  6. \displaystyle (\sqrt{3} + \sqrt{2}\,)(\sqrt{3} - \sqrt{2}\,) = (\sqrt{3}\,)^2-(\sqrt{2}\,)^2 = 3-2 = 1 Wo wir die binomische Formel \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 mit \displaystyle a=\sqrt{3} und \displaystyle b=\sqrt{2} benutzt haben.


D - Rationale Wurzelausdrücke

Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit \displaystyle \sqrt{2} erweitern

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.

Wenn der Nenner aus zwei Wurzeln besteht, kann man die binomische Formel \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 benutzen, um den Bruch zu vereinfachen. Indem man den Bruch mit dem konjugierten Nenner erweitert, erhält man immer einen Bruch ohne Wurzeln im Nenner.

\displaystyle \begin{align*}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt] &= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 } = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 } = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 } = \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.} \end{align*}

Beispiel 6

  1. \displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}
  2. \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
  3. \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-2} = \frac{3(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)} = \frac{3\sqrt{2}+6}{(\sqrt{2}\,)^2-2^2} = \frac{3\sqrt{2}+6}{2-4} = -\frac{3\sqrt{2}+6}{2}
  4. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\,(\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)}{(\sqrt{6}+\sqrt{3}\,) (\sqrt{6}-\sqrt{3}\,)} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{(\sqrt{6}\,)^2 -(\sqrt{3}\,)^2}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \phantom{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\vphantom{\Biggl(}}{} = \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{2\cdot 3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}\,\sqrt{3}}{3} = \frac{(2-\sqrt{2}\,)\sqrt{3}}{3} \vphantom{\displaystyle\frac{a^{\textstyle b^{\textstyle c}}}{b}}



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Tipps fürs Lernen

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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Die Quadratwurzel ist immer nicht-negativ, das heißt, positiv oder null.

Die Rechenregeln für Wurzeln sind nur Spezialfälle der Rechenregeln für Potenzen.

Zum Beispiel: \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}.


Literaturhinweise

Für die, die sich genauer mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr über Wurzeln in der Wikipedia

Warum wissen wir, dass Wurzel 2 kein Bruch ist? (engl.)


Nützliche Websites

Wie findet man die Wurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? (engl.)

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