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4.2 Trigonometrische Funktionen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Version vom 15:53, 11. Sep. 2009

Theorie

Übungen

Inhalt:

Die trigonometrischen Funktionen Cosinus, Sinus und Tangens.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

Die Begriffe Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse und rechtwinklige Dreiecke kennen.

Die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens durch den Einheitskreis.

Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für die Winkel \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 und \displaystyle \pi/2 auswendig können.
Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens durch Drehungen des Einheitskreises für andere Winkel berechnen.
Die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.
Trigonometrische Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen.

A - Rechtwinklige Dreiecke

In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete \displaystyle a und der Ankathete \displaystyle b den Tangens des Winkels \displaystyle u, und wird \displaystyle \tan u geschrieben.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Der Wert des Bruches \displaystyle \frac{a}{b} verändert sich nicht, wenn a und b mit der selben Zahl multipliziert werden. Das heißt, die tatsächliche Länge der Seiten ist egal, es zählt nur das Verhältnis des Längen zueinander. Daraus können wir schließen, dass der Bruch auch unabhängig davon ist, ob die Längen in Metern, Zentimetern, Inchs etc gemessen werden. Verschiedene Winkel ergeben verschiedene Werte des Tangens. Die Werte der Tangensfunktion kann man mittels einer Tabelle oder mit Hilfe eines Taschenrechner erhalten.

Beispiel 1

Wie hoch ist der Flaggenmast?

[Image]

Der Flaggenmast und sein Schatten bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit der unbekannten Seite \displaystyle x.

[Image]

Aus der Definition des Tangens erhalten wir

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}\,.

Nachdem \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0\textrm{.}84 erhalten wir

\displaystyle

x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0\textrm{.}84 = 4\textrm{.}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Beispiel 2 Bestimme die Länge der Seite \displaystyle x in der Figur.

[Image]

Wir nennen den Winkel links \displaystyle u und schreiben \displaystyle \tan u auf zwei verschiedene Weisen:

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Nachdem die beiden Gleichungen für \displaystyle \tan u gleich sind, erhalten wir

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}\,.

Wir erhalten \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Es gibt noch zwei Verhältnisse zwischen den Seiten in einem Dreieck, die besondere Namen besitzen, nämlich \displaystyle \cos u = b/c ("Cosinus von \displaystyle u"), und \displaystyle \sin u = a/c (" Sinus von \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Genau wie für die Tangensfunktion sind die Werte der Sinus- und Cosinusfunktion nur von dem Winkel \displaystyle u abhängig, also nicht von der Größe des Dreiecks.

Beispiel 3

[Image]

Im linken Dreieck

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Durch die Definition des Sinus erhalten wir

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

und \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0\textrm{.}616 gibt uns

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0\textrm{.}616 \approx 3\textrm{.}1\,\mbox{.}

[Image]

Der Cosinus ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Also haben wir

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Beispiel 4 Bestimme \displaystyle \sin u im Dreieck

[Image]

Mit dem Gesetz des Pythagoras können wir die Länge der rechten Seite bestimmen

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Daher ist \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

B - Wichtige Winkel

Für die Winkel 30°, 45° und 60° ist es einfach, die Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen.

Beispiel 5

Wir betrachten ein Quadrat mit der Seite 1. Die Diagonale dieses Quadrates teilt einen rechten Winkel in zwei, also in zwei Winkeln von 45°.

[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge \displaystyle x der Diagonale,

\displaystyle

x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

Jedes Dreieck hat die Diagonale als Hypotenuse, und daher bekommen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen für den Winkel \displaystyle 45^\circ.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Beispiel 6

Wir betrachten ein Dreieck, wo alle Seiten die Länge 1 haben, und daher alle Winkel 60° sind. Teilen wir dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke, haben diese Dreiecke einen Winkel, der \displaystyle 30 \,^{\circ} ist.

[Image]

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Länge der Höhe \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Betrachten wir eines der kleineren Dreiecke, erhalten wir

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}

Zusammenfassung:

x	sin(x)	cos(x)	tan(x)
0	0	1	0
\displaystyle \frac{\pi}{6}	\displaystyle \frac{1}{2}	\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}	\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
\displaystyle \frac{\pi}{4}	\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}	\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}	1
\displaystyle \frac{\pi}{3}	\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}	\displaystyle \frac{1}{2}	\displaystyle \sqrt{3}
\displaystyle \pi	0	-1	0

C- Trigonometrische Funktionen für allgemeine Winkeln

Die trigonometrischen Funktionen für Winkel kleiner als 0° oder größer als 90° definiert man durch den Einheitskreis.

Die trigonometrische Funktionen \displaystyle \cos u und \displaystyle \sin u sind die x- und y-Werte des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel \displaystyle u zur x-Achse.

[Image]

Die Definition der Tangensfunktion ist

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

und daher ist der Steigungswinkel der Geraden u.

Beispiel 7

Bestimme in den Figuren die Cosinus- und Sinuswerte der Winkel:

			\displaystyle \begin{align} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align}
			\displaystyle \begin{align} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align}

Beispiel 8

Sind die folgenden Ausdrücke positiv oder negativ?

\displaystyle \cos 209^\circ Nachdem \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ ist, liegt der Punkt im dritten Quadranten, und daher ist der x-Wert des Punktes negativ und daher auch der Cosinuswert. Also ist \displaystyle \cos 209^\circ negativ .
\displaystyle \sin 133^\circ Nachdem \displaystyle 133^\circ = 90^\circ + 43^\circ, liegt der Punkt im zweiten Quadranten, wo die y-Werte Positiv sind. Also ist \displaystyle \sin 133^\circ positiv.
\displaystyle \tan (-40^\circ) Indem wir den Winkel \displaystyle -40^\circ im Einheitskreis einzeichnen, sehen wir, dass die Steigung der entsprechenden Geraden negativ ist. Also ist \displaystyle \tan (-40^\circ) negativ.

Beispiel 9

Berechne \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Wir schreiben \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3} wie

\displaystyle

\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Daher liegt \displaystyle 2\pi/3 im zweiten Quadranten und bildet den positiven Winkel \displaystyle \pi/6 mit der y-Achse. Zeichnen wir das Dreieck wie in der unteren Figur, sehen wir, dass die y-Koordinate von \displaystyle 2\pi/3 \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2 ist. Also erhalten wir

\displaystyle

\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

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D - Die Funktionsgraphen der trigonometrischen Funktionen

In diesen Abschnitt haben wir den Einheitskreis verwendet, um Funktionswerte von beliebigen Winkeln zu finden. Mit dem Einheitskreis können wir auch die Graphen der trigonometrischen Funktionen zeichnen.

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Der Graph der Sinusfunktion

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Der Graph der Cosinusfunktion

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Der Graph der Tangensfunktion

Hier beobachten wir einige interessante Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen:

Die Cosinus- und Sinusfunktionen sind periodisch, mit der kleinsten Periode \displaystyle 2\pi. Dies bedeutet, dass \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x und \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. Im Einheitskreis entspricht das einer Drehung von \displaystyle 2\pi, wobei wir wieder denselben Winkel erhalten.

Die Tangensfunktion ist periodisch mit der kleinsten Periode \displaystyle \pi. Also ist \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Zwei Winkel mit der Differenz \displaystyle \pi haben dieselbe Gerade und daher dieselbe Steigung.

Außer eine Verschiebung von \displaystyle \pi/2, sind die Cosinus- und Sinusfunktionen identisch. Genauer ist \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2). Dies untersuchen wir näher im nächsten Abschnitt.

Die Funktionsgraphen spielen auch eine wichtige Rolle bei trigonometrischen Gleichungen, da sie graphische Lösungen von Gleichungen ermöglichen.

Beispiel 10

Wie viele Lösungen hat die Gleichun \displaystyle \cos x = x^2 (wobei \displaystyle x der Winkel in Radianten ist)?

Wir zeichnen die Graphen von \displaystyle y=\cos x und \displaystyle y=x^2 und sehen, dass die Graphen zwei Schnittpunkte haben. Also hat die Gleichung zwei Lösungen x, wo die y-Werte der beiden Funktionen gleich sind. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .

Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Die Verwendung von Trigonoetrie vereinfacht viele geometrische Probleme.

Versichere Dich, dass Du die Definition der trigonometrischen Funktionen durch den Einheitskreis wirklich verstehst.

Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr über trigonometrische Funktionen in der Wikipedia

Mehr über den Einheitskreis in der Wikipedia

Nützliche Websites

Experimente mit Sinus und Cosinus im Einheitskreis

experimentiere mit euklidischer Geometrie (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.2_Trigonometrische_Funktionen“