Lösung 4.4:2d

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Apart from the fact that there is a <math>5x</math>, this is a normal trigonometric equation of the type <math>\sin y = a\,</math>. If we are only interested in solutions which satisfy <math>0\le 5x\le 2\pi</math>, then a sketch of the unit circle shows that there are two such solutions, <math>5x = \pi/4</math> and the reflectionally symmetric solution <math>5x = \pi - \pi/4 = 3\pi/4\,</math>.
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Außer, dass wir als Argument <math>5x</math> haben, ist dies eine gewöhnliche trigonometrische Gleichung der Form <math>\sin y = a\,</math>. Wir erhalten die Lösungen, die <math>0\le 5x\le 2\pi</math> erfüllen, indem wir den Einheitskreis zeichnen, und wir erhalten die Lösungen <math>5x = \pi/4</math> und <math>5x = \pi - \pi/4 = 3\pi/4\,</math>.
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[[Image:4_4_2_d.gif|center]]
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<center>{{:4.4.2d - Solution - Two unit circle with angles π/4 and 3π/4, respectively}}</center>
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All of the equation's solutions are obtained from all values of <math>5x</math> which differ by a multiple of <math>2\pi</math> from either of these two solutions,
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Wir bekommen die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu den Lösungen addieren:
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{{Abgesetzte Formel||<math>5x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{and}\qquad 5x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>5x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 5x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 
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If we divide both of these by 5, we obtain the solutions expressed in terms of ''x'' alone,
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Dividieren wir beide Seiten durch 5, erhalten wir die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\,.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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Aktuelle Version

Außer, dass wir als Argument \displaystyle 5x haben, ist dies eine gewöhnliche trigonometrische Gleichung der Form \displaystyle \sin y = a\,. Wir erhalten die Lösungen, die \displaystyle 0\le 5x\le 2\pi erfüllen, indem wir den Einheitskreis zeichnen, und wir erhalten die Lösungen \displaystyle 5x = \pi/4 und \displaystyle 5x = \pi - \pi/4 = 3\pi/4\,.

[Image]

Wir bekommen die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu den Lösungen addieren:

\displaystyle 5x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 5x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\,,


Dividieren wir beide Seiten durch 5, erhalten wir die Lösungen

\displaystyle x = \frac{\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\,.
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